Алгебра и геометрия

Последнее изменение: 18/10/2021 13:50:52

Основной курс для 2-го потока ФИИТ первого курса (группы ФИИТ 103/104). В осеннем семестре 2021/22 учебного года читается по субботам нечетных недель с 10:40 и по понедельникам с 10:40 в MS Teams (команда "Алгебра и геометрия (2021/22) ФИИТ 103/104").

Внимание: девятая лекция состоится в понедельник 25.10.21

Учебники

  • А. И. Мальцев. Основы линейной алгебры.
  • Д. К. Фаддеев. Лекции по алгебре.

Краткое содержание курса

  • Линейная геометрия трехмерного пространства
    • Векторная алгебра трехмерного пространства
    • Уравнения прямой и плоскости в трехмерном пространстве
    • Основные метрические задачи на прямую и плоскость
  • Комплексные числа
    • Формула Кардано
    • Понятие поля; построение поля комплексных чисел
    • Действия с комплексными числами. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексного числа
    • Корни из комплексных чисел. Корни из единицы
  • Линейная алгебра и геометрия
    • Линейные пространства. Базис, размерность
    • Координаты вектора. Замена координат
    • Линейные отображения и их матрицы
    • Ядро и образ линейного отображения
    • Пространства со скалярным произведением
    • Общая теория систем линейных уравнений
    • Линейные отображения в пространствах со скалярным произведением

Слайды и дополнительный материал

Вопросы для самоконтроля по прочитанным лекциям

  • Векторная алгебра трехмерного пространства
  1. Доказать формулу «бац минус цаб»: a x (b x c) = b(ac) - c(ab).
  2. Доказать тождество Якоби (a x b) x c + (b x c) x a + (c x a) x b = 0.
  3. Пусть е,f,g - базис. Доказать, что вектора e x f, g x e, f x g также образуют базис. (Указание - эту задачу можно решать разными способами, но довольно поучительно перейти к координатам.)
  4. Матрица Грама базиса е_1,е_2,е_3 - это 3х3-матрица, у которой на месте (i,j) стоит скалярное произведение e_ie_j. Доказать, что определитель матрицы Грама отличен от 0. (Указание - с теми средствами, которыми вы располагаете сейчас, решить эту задачу непросто. Но попробуйте! Когда вы узнаете больше про матрицы и определители, эта задача станет совсем простой.)
  5. Алиса и Боб по очереди заполняют числами матрицу 2х2. Алиса (которая ходит первой) хочет добиться, чтобы определитель получившейся матрицы был отличен от 0, а Боб хочет добиться, чтобы этот определитель был равен 0. У кого из игроков есть выигрышная стратегия? А если Алиса хочет, чтобы получился нулевой определитель, а Боб - чтобы получился определитель, отличный от 0? Те же вопросы для матрицы 3х3. (Предостережение: для 3х3-матриц задача уже нетривиальна.)
  • Уравнения прямой и плоскости в трехмерном пространстве
  1. Исследовать взаимное расположение трех прямых на плоскости. (Здесь и далее под словом "исследовать" понимается следующее: указать условия на коэффициенты уравнений, отвечающие различным с геометрической точки зрения вариантам взаимного расположения задаваемых этими уравнениями объектов).
  2. На плоскости даны три параллельные прямые с уравнениями Ax+By+C=0, Ax+By+D=0, Ax+By+E=0. Указать необходимое и достаточное условие, при котором вторая прямая проходит между первой и третьей.
  3. На плоскости даны две параллельные прямые с уравнениями Ax+By+C=0, Ax+By+D=0. Придумать формулу, выражающее расстояние между этими прямыми через коэффициенты A,B,C,D. (Система координат - прямоугольная декартова.)
  4. На плоскости даны две пересекающиеся и неперпендикулярные прямые с уравнениями A_1x+B_1y+C_1=0, A_2x+B_2y+C_2=0. Написать уравнение биссектрисы острого угла между этими прямыми. (Система координат - прямоугольная декартова.)
  5. Исследовать взаимное расположение трех плоскостей в пространстве.
  6. В пространстве даны три параллельные плоскости с уравнениями Ax+By+Cz+D=0, Ax+By+Cz+E=0, Ax+By+Cz+F=0. Указать необходимое и достаточное условие, при котором вторая плоскость проходит между первой и третьей.
  7. В пространстве даны две параллельные плоскости с уравнениями Ax+By+Cz+D=0, Ax+By+Cz+E=0 и прямая с уравнением x=x_0+mt, y=y_0+nt, z=z_0+pt. Указать необходимое и достаточное условие, при котором прямая расположена между плоскостями.
  • Комплексные числа
  1. Найти сумму k-х степеней всей корней n-й степени из 1.
  2. Найти произведение корней n-й степени из 1.
  3. Доказать, что модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению их модулей.
  4. Некоторые натуральные числа (например, 1, 2, 4 или 5) можно представить в виде суммы квадратов двух целых чисел, а некоторые (например, 3, 6 или 7) нельзя. Доказать, что если натуральные числа m и n представимы в виде суммы квадратов двух целых чисел, то и их произведение mn представимо в виде такой суммы.
  5. Можно ли ввести на множестве комплексных чисел линейный порядок, продолжающий обычный порядок на множестве действительных чисел и согласованный с операцией сложения? (Согласованность означает, что для любых x,y,z, если x < y, то x+z < y+z.) А линейный порядок, согласованный с операцией умножения? (Здесь согласованность означает, что для любых x,y,z, если x < y и z > 0, то xz < yz.)
  • Абстрактные векторные пространства
  1. Доказать, что аксиому 1а=а нельзя вывести из остальных аксиом линейного пространства.
  2. Доказать, что коммутативность сложения можно вывести из остальных аксиом линейного пространства. (Предостережение: задача нетривиальна.)
  3. Доказать, что в обычном трехмерном пространстве любые четыре вектора линейно зависимы.

Смотрите также: