Алгебра и геометрия

Последнее изменение: 18/10/2021 13:51:34

Основной курс для потока ФИИТ первого курса. В осеннем семестре 2020/21 учебного года читался по понедельникам нечетных недель с 10:40 и по четвергам с 12:50 в MS Teams.

Расписание консультаций и экзаменов
Группа Консультация Экзамен
ФТ-101 19.01.21 с 10:00 21.01.21 с 9:00
ФТ-102 19.01.21 с 10:00 22.01.21 с 9:00
ФТ-103 25.01.21 с 10:00 27.01.21 с 9:00
ФТ-104 25.01.21 с 10:00 28.01.21 с 9:00


Результаты экзаменов (c учетом пересдач)
Группа Отлично Хорошо Удовлетв. Неудовл. Не аттест. Всего
ФИ-101 3 9 8 0 2 22
ФТ-102 9 4 5 1 3 22
ФТ-103 5 7 6 2 2 22
ФТ-104 6 9 3 2 3 23
Поток 23 29 22 5 10 89

Учебники

  • А. И. Мальцев. Основы линейной алгебры.
  • Д. К. Фаддеев. Лекции по алгебре.

Краткое содержание курса

  • Линейная геометрия трехмерного пространства
    • Векторная алгебра трехмерного пространства
    • Уравнения прямой и плоскости в трехмерном пространстве
    • Основные метрические задачи на прямую и плоскость
  • Комплексные числа
    • Формула Кардано
    • Понятие поля; построение поля комплексных чисел
    • Действия с комплексными числами. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексного числа
    • Корни из комплексных чисел. Корни из единицы
  • Линейная алгебра и геометрия
    • Линейные пространства. Базис, размерность
    • Координаты вектора. Замена координат
    • Линейные отображения и их матрицы
    • Ядро и образ линейного отображения
    • Пространства со скалярным произведением
    • Общая теория систем линейных уравнений
    • Линейные отображения в пространствах со скалярным произведением

Темы, выносимые на экзамен

  1. Линейные операции с векторами трехмерного пространства. Свойства линейных операций.
  2. Базис трехмерного пространства. Разложение вектора по базису. Координаты вектора.
  3. Формула деления отрезка в данном отношении.
  4. Скалярное произведение в трехмерном пространстве. Свойства скалярного произведения. Скалярное произведение в координатах.
  5. Векторное и смешанное произведения в трехмерном пространстве. Теорема о смешанном произведении.
  6. Свойства векторного произведения. Векторное и смешанное произведения в координатах.
  7. Основная теорема об уравнении прямой на плоскости.
  8. Взаимное расположение двух прямых. Расположение точек относительно прямой.
  9. Основная теорема об уравнении плоскости.
  10. Взаимное расположение двух плоскостей. Расположение точек относительно плоскости.
  11. Прямая в пространстве. Общее и каноническое уравнения прямой.
  12. Взаимное расположение прямой и плоскости.
  13. Основные метрические задачи на прямую и плоскость. Расстояние от точки до прямой (на плоскости и в пространстве). Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между скрещивающимися прямыми. Угол между прямыми. Угол между плоскостями. Угол между прямой и плоскостью.
  14. Формула Кардано.
  15. Конструкция поля комплексных чисел.
  16. Сопряженные комплексные числа. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме.
  17. Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа.
  18. Корни из единицы и их свойства.
  19. Аксиомы линейного пространства. Линейная зависимость. Лемма о правом крайнем.
  20. Системы образующих и базисы. Теорема о существовании базиса.
  21. Теорема о равномощности базисов. Размерность пространства. Теорема о продолжении.
  22. Подпространства. Действия с подпространствами. Размерность суммы двух подпространств. Прямые суммы.
  23. Линейные отображения. Операции над линейными отображениями. Матрица линейного отображения. Связь между действиями над отображениями и действиями над матрицами.
  24. Ядро и образ линейного отображения. Теорема о сумме ранга и дефекта. Алгоритм одновременного вычисления ядра и образа.
  25. Обратное отображение. Линейность отображения, обратного к линейному. Алгоритм вычисления обратной матрицы.
  26. Ранг матрицы. Теорема о ранге.
  27. Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
  28. Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений. Теорема о размерности пространства решений однородной системы.
  29. Аксиомы евклидовых и унитарных пространства. Длина вектора. Неравенство Коши–Буняковского.
  30. Ортогональные системы. Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Ортонормированный базис.
  31. Ортогональное дополнение подпространства. Ортогональные разложения.
  32. Линейные функционалы. Теорема о строении линейного функционала на унитарном (евклидовом) пространстве.
  33. Сопряженный оператор. Линейность сопряженного оператора. Свойства операции сопряжения. Матрица сопряженного оператора.
  34. Псевдорешения несовместных систем линейных уравнений. Метод наименьших квадратов.
  35. Теорема Фредгольма. Альтернатива Фредгольма.
  36. Псевдообратный оператор. Нормальное псевдорешение несовместной системы линейных уравнений.

Слайды прочитанных лекций и дополнительный материал

Видеозаписи лекций

Вопросы для самоконтроля по прочитанным лекциям

  • Векторная алгебра трехмерного пространства
  1. Доказать формулу «бац минус цаб»: a x (b x c) = b(ac) - c(ab).
  2. Доказать тождество Якоби (a x b) x c + (b x c) x a + (c x a) x b = 0.
  3. Пусть е,f,g - базис. Доказать, что вектора e x f, g x e, f x g также образуют базис. (Указание - эту задачу можно решать разными способами, но довольно поучительно перейти к координатам.)
  4. Матрица Грама базиса е_1,е_2,е_3 - это 3х3-матрица, у которой на месте (i,j) стоит скалярное произведение e_ie_j. Доказать, что определитель матрицы Грама отличен от 0. (Указание - с теми средствами, которыми вы располагаете сейчас, решить эту задачу непросто. Но попробуйте! Когда вы узнаете больше про матрицы и определители, эта задача станет совсем простой.)
  • Уравнения прямой и плоскости в трехмерном пространстве
  1. Исследовать взаимное расположение трех прямых на плоскости. (Здесь и далее под словом "исследовать" понимается следующее: указать условия на коэффициенты уравнений, отвечающие различным с геометрической точки зрения вариантам взаимного расположения задаваемых этими уравнениями объектов).
  2. На плоскости даны три параллельные прямые с уравнениями Ax+By+C=0, Ax+By+D=0, Ax+By+E=0. Указать необходимое и достаточное условие, при котором вторая прямая проходит между первой и третьей.
  3. На плоскости даны две параллельные прямые с уравнениями Ax+By+C=0, Ax+By+D=0. Придумать формулу, выражающее расстояние между этими прямыми через коэффициенты A,B,C,D. (Система координат - прямоугольная декартова.)
  4. На плоскости даны две пересекающиеся и неперпендикулярные прямые с уравнениями A_1x+B_1y+C_1=0, A_2x+B_2y+C_2=0. Написать уравнение биссектрисы острого угла между этими прямыми. (Система координат - прямоугольная декартова.)
  5. Исследовать взаимное расположение трех плоскостей в пространстве.
  6. В пространстве даны три параллельные плоскости с уравнениями Ax+By+Cz+D=0, Ax+By+Cz+E=0, Ax+By+Cz+F=0. Указать необходимое и достаточное условие, при котором вторая плоскость проходит между первой и третьей.
  7. В пространстве даны две параллельные плоскости с уравнениями Ax+By+Cz+D=0, Ax+By+Cz+E=0 и прямая с уравнением x=x_0+mt, y=y_0+nt, z=z_0+pt. Указать необходимое и достаточное условие, при котором прямая расположена между плоскостями.
  • Комплексные числа
  1. Найти сумму k-х степеней всей корней n-й степени из 1.
  2. Найти произведение корней n-й степени из 1.
  • Линейные пространства
  1. Доказать, что аксиому 1а=а нельзя вывести из остальных аксиом линейного пространства.
  2. Доказать, что коммутативность сложения можно вывести из остальных аксиом линейного пространства. (Предостережение: задача нетривиальна.)
  3. Доказать, что базис пространства можно определить как максимальную линейно независимую систему или как минимальную систему образующих.
  4. Доказать, что объединение двух подпространств будет подпространством тогда и только тогда, когда одно из этих подпространств содержится в другом.
  5. Может ли объединение трех попарно несравнимых подпространств быть подпространством? (Указание: рассмотрите двумерное пространство над двухэлементным полем.)
  6. Доказать, что для операций пересечения и суммы подпространств, вообще говоря, не выполняется дистрибутивный закон.
  7. Доказать, что для операций пересечения и суммы подпространств выполняется так называемый модулярный закон: если подпространство А содержит подпространство В, то для любого подпространства С пересечение А с суммой В+С равно сумме В и пересечения А с С.
  8. Докажите, что система функций sin(x), sin(2x), ..., sin(nx) линейно независима при любом n. (Предостережение: с теми средствами, которыми вы располагаете сейчас, задача нетривиальна.)
  • Ранг матрицы. Теория систем линейных уравнений
  1. Доказать, что произвольная матрица ранга r представима в виде суммы r матриц ранга 1.
  2. Доказать, что для любых двух матриц одинаковых размеров ранг их суммы не провосходит суммы их рангов.
  3. Доказать, что для любой nxs-матрицы A, любой обратимой nxn-матрицы В и любой обратимой sxs-матрицы ранги матриц А и ВАС равны.
  4. Доказать, что для системы линейных уравнений следующие условия эквивалентны:
    • система имеет единственное решение;
    • ранг основной матрицы равен числу неизвестных;
    • ранг расширенной матрицы равен числу неизвестных.
  5. (Неравенство Сильвестра) Пусть А - линейное отображение, принимающее значения в некотором n-мерном пространстве L, а В - линейное отображение, определенное на L. Доказать, что ранг отображения АВ не меньше r(A)+r(B)-n. (Указание: примените теорему о сумме ранга и дефекта к ограничению отображения В на пространство Im(A).)
  6. (Принцип наложения решений) Доказать, что если вектор y - решение системы линейных уравнений Ax=b, а вектор z - решение системы линейных уравнений Ax=c, то вектор y+z будет решением системы линейных уравнений Ax=b+c.
  7. Пусть квадратная матрица А такова, что система линейных уравнений Ax=b имеет решение при любой правой части b. Доказать, что тогда эта система имеет единственное решение при каждой правой части. (Указание: воспользуйтесь теоремой о сумме ранга и дефекта.)
  • Евклидовы и унитарные пространства. Решение несовместных систем линейных уравнений
  1. Верно ли утверждение, обратное к теореме Пифагора, в произвольном евклидовом или унитарном пространстве?
  2. Что произойдет, если применить процесс Грама-Шмидта к линейно зависимой системе векторов?
  3. В трехмерном евклидовом пространстве геометрических векторов линейный оператор определен равенством Ay: = a x y (векторное произведение некоторого фиксированного вектора а и вектора y). Найти сопряженный оператор для A.
  4. Пусть для оператора А имеется сопряженный оператор А*, т.е. оператор, удовлетворяющий условию Axy=xA*y для любых векторов x и y. Доказать, что оператор А необходимо должен быть линейным.
  5. Доказать, что ядро оператора А совпадает с ядром оператора А*А.
  6. Пусть оператор В обратен оператору А. Доказать, что оператор В* обратен оператору А*. Другими словами, операции обращения и сопряжения перестановочны.
  7. Доказать, что если А - самосопряженный оператор в унитарном пространстве, то Ахх - действительное число для любого вектора х. Верно ли обратное утверждение?
  8. Доказать, что произведение самосопряженных операторов будет самосопряженным тогда и только тогда, когда эти операторы перестановочны. (Это простое утверждение играет важную роль в квантовой механике.)
  9. Доказать, что эрмитовы nxn-матрицы образуют векторное пространство над полем действительных чисел. Какова размерность этого пространства?
  10. Точка Лемуана треугольника - это точка, сумма квадратов расстояний которой до сторон треугольника минимальна. Найдите точку Лемуана треугольника, стороны которого лежат на прямых с уравнениями A_1x+B_1y+C_1=0, A_2x+B_2y+С_2=0, A_3x+B_3y+С_3=0. (Указание: примените метод наименьших квадратов.)
  11. Две прямые в пространстве заданы уравнениями x=x_0+mt, y=y_0+nt, z=z_0+pt и x=x_1+qt, y=y_1+rt, z=z_1+st. Объединим эти 6 уравнений в одну систему. С учетом возможных случаев взаимного расположения данных прямых, ответьте на следующие вопросы. Какие точки будут псевдорешениями этой системы? Какая точка будет нормальным псевдорешением этой системы?
  12. Доказать, что операции псевдообращения и сопряжения перестановочны, т.е. оператор, псевдообратный к А*, совпадает с сопряженным к оператору, псевдообратному к А. (Указание: применить теорему Пенроуза.)

Смотрите также: