Алгебра и геометрия

Последнее изменение: 08/12/2024 07:22:32

Основной курс для 1-го потока ФИИТ первого курса (группы ФИИТ 101/102). В осеннем семестре 2024/25 учебного года читается по понедельникам с 12:50 в ауд. 532 и по четвергам четных недель с 14:30 в ауд. 621.

Консультация перед экзаменом для обеих групп потока: 9-го января 2025 г. с 9:00 в ауд. 632
Экзамены:
- Группа МЕН-140801: 10-го января 2025 г. с 9:00 в ауд. 515
- Группа МЕН-140802: 11-го января 2025 г. с 9:00 в ауд. 515

Краткое содержание курса

Линейная геометрия трехмерного пространства
- Векторная алгебра трехмерного пространства
- Уравнения прямой и плоскости в трехмерном пространстве
- Основные метрические задачи на прямую и плоскость
Комплексные числа
- Формула Кардано
- Понятие поля; построение поля комплексных чисел
- Действия с комплексными числами. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа
- Корни из комплексных чисел. Корни из единицы
Линейная алгебра и геометрия
- Линейные пространства. Базис, размерность
- Линейные отображения и их матрицы
- Ядро и образ линейного отображения
- Ранг матрицы
- Общая теория систем линейных уравнений
- Пространства со скалярным произведением
- Метод наименьших квадратов

Учебники

Вопросы к экзамену

Линейные операции с векторами трехмерного пространства. Свойства линейных операций.
Базис трехмерного пространства. Разложение вектора по базису. Координаты вектора.
Скалярное произведение в трехмерном пространстве. Свойства скалярного произведения. Скалярное произведение в координатах.
Векторное и смешанное произведения в трехмерном пространстве. Теорема о смешанном произведении.
Свойства векторного произведения. Векторное и смешанное произведения в координатах.
Основная теорема об уравнении прямой на плоскости.
Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Расположение точек относительно прямой.
Основная теорема об уравнении плоскости.
Взаимное расположение двух плоскостей. Расположение точек относительно плоскости.
Прямая в пространстве. Общее и каноническое уравнения прямой.
Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости.
Основные метрические задачи на прямую и плоскость. Расстояние от точки до прямой (на плоскости и в пространстве). Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между скрещивающимися прямыми. Угол между прямыми. Угол между плоскостями. Угол между прямой и плоскостью.
Конструкция поля комплексных чисел.
Сопряженные комплексные числа. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Показательная форма записи комплексного числа.
Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа. Корни из единицы и их свойства.
Аксиомы линейного пространства. Линейная зависимость. Лемма о правом крайнем.
Системы образующих и базисы. Теорема о существовании базиса.
Теорема о равномощности базисов. Размерность пространства. Теорема о продолжении.
Подпространства. Действия с подпространствами. Размерность суммы двух подпространств. Прямые суммы.
Линейные операторы. Операции над линейными операторами. Матрица линейного оператора. Связь между действиями над операторами и действиями над матрицами.
Ядро и образ линейного оператора. Теорема о сумме ранга и дефекта. Алгоритм одновременного вычисления ядра и образа.
Ранг матрицы. Теорема о ранге.
Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
Умножение операторов и матриц. Обратный оператор. Линейность оператора, обратного к линейному. Алгоритм вычисления обратной матрицы.
Однородные системы линейных уравнений. Теорема о размерности пространства решений однородной системы. Фундаментальная система решений и алгоритм ее построения.
Аксиомы евклидовых и унитарных пространства. Длина вектора. Неравенство Коши–Буняковского.
Ортогональные системы. Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Ортонормированный базис.
Ортогональное дополнение подпространства. Ортогональные разложения.
Псевдорешения несовместных систем линейных уравнений. Метод наименьших квадратов.

Лекции

Лекция 1 (прочитана 16.09): Линейные операции над векторами. Cлайды + Полезный дополнительный материал (на англ. языке)
Лекция 2 (прочитана 23.09): Скалярное и векторное умножение векторов. Cлайды + Полезный дополнительный материал (на англ. языке)
Лекция 3 (прочитана 26.09): Смешанное умножение векторов. Координаты точки. Cлайды
Лекция 4 (прочитана 30.09): Прямая на плоскости Cлайды
Лекция 5 (прочитана 07.10): Плоскость и прямая в пространстве Cлайды
Лекция 6 (прочитана 10.10): Формула Кардано. Постановка задачи о поле комплексных чисел Cлайды + Полезный дополнительный материал (на англ. языке) + то же с русским войсовером
Лекция 7 (прочитана 14.10): Построение поля комплексных чисел. Тригонометрическая форма записи комплексного числа Cлайды
Лекция 8 (прочитана 21.10): Показательная форма записи комплексного числа. Извлечение корней из комплексных чисел Cлайды + Полезный дополнительный материал (на англ. языке) + еще один (более сложный) (на англ. языке)
Лекция 9 (прочитана 24.10): Линейные пространства Cлайды
Лекция 10 (прочитана 28.10): Линейная зависимость и независимость векторов. Базис линейного пространства Cлайды
Лекция 11 (прочитана 07.11): Координаты векторов. Подпространства. Линейные многообразия. Cлайды
Лекция 12 (прочитана 11.11): Линейный оператор. Матрица оператора Cлайды + Полезный дополнительный материал (на англ. языке)
Лекция 13 (прочитана 18.11): Ядро и образ линейного оператора Cлайды
Лекция 14 (прочитана 21.11): Ранг матрицы Cлайды
Лекция 15 (прочитана 25.11): Умножение операторов и матриц. Обратная матрица Cлайды + Полезный дополнительный материал (на англ. языке)
Лекция 16 (прочитана 02.12): Системы линейных уравнений Cлайды
Лекция 17 (прочитана 05.12): Пространства со скалярным произведением Cлайды
Лекция 18 (планируется 09.12): Ортогональность Cлайды
Лекция 19 (планируется 16.12): Метод наименьших квадратов
Лекция 20 (планируется 19.12): Метод наименьших квадратов (окончание)

Вопросы для самоконтроля по прочитанным лекциям

Векторная алгебра трехмерного пространства

Доказать формулу «бац минус цаб»: a x (b x c) = b(ac) - c(ab).
Доказать тождество Якоби (a x b) x c + (b x c) x a + (c x a) x b = 0.
Пусть е,f,g - базис. Доказать, что вектора e x f, g x e, f x g также образуют базис. (Указание - эту задачу можно решать разными способами, но довольно поучительно перейти к координатам.)
Матрица Грама базиса е_1,е_2,е_3 - это 3х3-матрица, у которой на месте (i,j) стоит скалярное произведение e_ie_j. Доказать, что определитель матрицы Грама отличен от 0. (Указание - с теми средствами, которыми вы располагаете сейчас, решить эту задачу непросто. Но попробуйте! Когда вы узнаете больше про матрицы и определители, эта задача станет совсем простой.)
Алиса и Боб по очереди заполняют числами матрицу 2х2. Алиса (которая ходит первой) хочет добиться, чтобы определитель получившейся матрицы был отличен от 0, а Боб хочет добиться, чтобы этот определитель был равен 0. У кого из игроков есть выигрышная стратегия? А если Алиса хочет, чтобы получился нулевой определитель, а Боб - чтобы получился определитель, отличный от 0? Те же вопросы для матрицы 3х3. (Предостережение: для 3х3-матриц задача уже нетривиальна.)

Уравнения прямой и плоскости в трехмерном пространстве

Исследовать взаимное расположение трех прямых на плоскости. (Здесь и далее под словом "исследовать" понимается следующее: указать условия на коэффициенты уравнений, отвечающие различным с геометрической точки зрения вариантам взаимного расположения задаваемых этими уравнениями объектов).
На плоскости даны три параллельные прямые с уравнениями Ax+By+C=0, Ax+By+D=0, Ax+By+E=0. Указать необходимое и достаточное условие, при котором вторая прямая проходит между первой и третьей.
На плоскости даны две параллельные прямые с уравнениями Ax+By+C=0, Ax+By+D=0. Придумать формулу, выражающее расстояние между этими прямыми через коэффициенты A,B,C,D. (Система координат - прямоугольная декартова.)
На плоскости даны две пересекающиеся и неперпендикулярные прямые с уравнениями A_1x+B_1y+C_1=0, A_2x+B_2y+C_2=0. Написать уравнение биссектрисы острого угла между этими прямыми. (Система координат - прямоугольная декартова.)
На плоскости даны две пересекающиеся прямые с уравнениями A_1x+B_1y+C_1=0, A_2x+B_2y+C_2=0. Доказать, что любая прямая, проходящая через точку пересечения этих прямых, задается уравнением s(A_1x+B_1y+C_1)+t(A_2x+B_2y+C_2)=0 для некоторых чисел s и t. Сколько пар (s,t) с таким свойством может быть для фиксированной прямой?
Исследовать взаимное расположение трех плоскостей в пространстве.
В пространстве даны три параллельные плоскости с уравнениями Ax+By+Cz+D=0, Ax+By+Cz+E=0, Ax+By+Cz+F=0. Указать необходимое и достаточное условие, при котором вторая плоскость проходит между первой и третьей.
В пространстве даны две параллельные плоскости с уравнениями Ax+By+Cz+D=0, Ax+By+Cz+E=0 и прямая с уравнением x=x_0+mt, y=y_0+nt, z=z_0+pt. Указать необходимое и достаточное условие, при котором прямая расположена между плоскостями.
В пространстве даны две скрещивающиеся прямые с уравнениями x=x_1+m_1t, y=y_1+n_1t, z=z_1+p_1t и x=x_2+m_2t, y=y_2+n_2t, z=z_2+p_2t и точка М(x_0,y_0,z_0). При каком условии через точку М можно провести плоскость Р так, чтобы эти две прямые лежали в разных полупространствах относительно Р?

Комплексные числа

Можно ли ввести на множестве комплексных чисел линейный порядок, продолжающий обычный порядок на множестве действительных чисел и согласованный с операцией сложения? (Согласованность означает, что для любых x,y,z, если x < y, то x+z < y+z.) А линейный порядок, согласованный с операцией умножения? (Здесь согласованность означает, что для любых x,y,z, если x < y и z > 0, то xz < yz.)
Некоторые натуральные числа (например, 1, 2, 4 или 5) можно представить в виде суммы квадратов двух целых чисел, а некоторые (например, 3, 6 или 7) нельзя. Доказать, что если натуральные числа m и n представимы в виде суммы квадратов двух целых чисел, то и их произведение mn представимо в виде такой суммы. (Указание - эту задачу можно решать и не используя комплексные числа, но "комплексное" решение прозрачно и не требует никаких вычислений.)
Найти сумму k-х степеней всех корней n-й степени из 1.
Найти произведение корней n-й степени из 1.
Найти сумму всевозможных попарных произведений различных корней n-й степени из 1.
Пусть z - корень n-й степени из 1. Доказать, что если возвести z в любую степень с чисто мнимым показателем, то все значения этой степень будут действительными.

Абстрактные векторные пространства

Доказать, что аксиому 1а=а нельзя вывести из остальных аксиом линейного пространства.
Доказать, что коммутативность сложения можно вывести из остальных аксиом линейного пространства. (Предостережение: задача нетривиальна.)
Доказать, что в обычном трехмерном пространстве любые четыре вектора линейно зависимы.
Доказать, что объединение двух подпространств будет подпространством тогда и только тогда, когда одно из этих подпространств содержится в другом.
Может ли объединение трех попарно несравнимых подпространств быть подпространством? (Указание: рассмотрите двумерное пространство над двухэлементным полем.)
Доказать, что для операций пересечения и суммы подпространств, вообще говоря, не выполняется дистрибутивный закон.
Доказать, что для операций пересечения и суммы подпространств выполняется так называемый модулярный закон: если подпространство А содержит подпространство В, то для любого подпространства С пересечение А с суммой В+С равно сумме В и пересечения А с С.
Формула для размерности суммы двух подпространств аналогична формуле включений и исключений для двух множеств. Верна ли формула для размерности суммы трех подпространств, построенная по аналогии с формулой включений и исключений для трех множеств? (Указание: рассмотрите три прямые в обычной двумерной плоскости.)
Докажите, что линейные многообразия x+M и y+N равны тогда и только тогда, когда M = N и x-y лежит в М.

Ранг матрицы. Обратная матрица. Теория систем линейных уравнений

Доказать, что произвольная матрица ранга r представима в виде суммы r матриц ранга 1.
Доказать, что для любых двух матриц одинаковых размеров ранг их суммы не превосходит суммы их рангов.
Доказать, что для любой nxs-матрицы A, любой обратимой nxn-матрицы В и любой обратимой sxs-матрицы C ранги матриц А и ВАС равны.
Квадратная матрица называется верхнетреугольной, если все ее элементы под главной диагонали нулевые. Докажите, что верхнетреугольная матрица А обратима тогда и только тогда, когда все ее диагональные элементы отличны от нуля, и что если А обратима, то обратная к А матрица тоже будет верхнетреугольной.
(Тождество Вудбери) Пусть A - обратимая n×n-матрица, C - обратимая k×k-матрица, U - n×k-матрица, а V - k×n-матрица. Доказать, что если матрица A + UCV обратима, то обратная к ней может быть вычислена как A^{-1} - A^{-1}U(C^{-1} + VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1}.
(Неравенство Сильвестра) Пусть А - линейный оператор, принимающий значения в некотором n-мерном пространстве L, а В - линейный оператор, определенный на L. Доказать, что ранг оператора АВ не меньше r(A)+r(B)-n. (Указание: примените теорему о сумме ранга и дефекта к ограничению оператора В на пространство Im(A).)
Доказать, что для системы линейных уравнений следующие условия эквивалентны:
- система имеет единственное решение;
- ранг основной матрицы равен числу неизвестных;
- ранг расширенной матрицы равен числу неизвестных.
(Принцип наложения решений) Доказать, что если вектор y - решение системы линейных уравнений Ax=b, а вектор z - решение системы линейных уравнений Ax=c, то вектор y+z будет решением системы линейных уравнений Ax=b+c.
Пусть квадратная матрица А такова, что система линейных уравнений Ax=b имеет решение при любой правой части b. Доказать, что тогда эта система имеет единственное решение при каждой правой части. (Указание: воспользуйтесь теоремой о сумме ранга и дефекта.)

Евклидовы и унитарные пространства. Решение несовместных систем линейных уравнений

Верно ли утверждение, обратное к теореме Пифагора, в произвольном евклидовом или унитарном пространстве?
Что произойдет, если применить процесс Грама-Шмидта к линейно зависимой системе векторов?

Кафедра алгебры и фундаментальной информатики