Алгебра и геометрия

Последнее изменение: 21/11/2024 05:47:21

Основной курс для 1-го потока ФИИТ первого курса (группы ФИИТ 101/102). В осеннем семестре 2024/25 учебного года читается по понедельникам с 12:50 в ауд. 532 и по четвергам четных недель с 14:30 в ауд. 621.

Краткое содержание курса

  • Линейная геометрия трехмерного пространства
    • Векторная алгебра трехмерного пространства
    • Уравнения прямой и плоскости в трехмерном пространстве
    • Основные метрические задачи на прямую и плоскость
  • Комплексные числа
    • Формула Кардано
    • Понятие поля; построение поля комплексных чисел
    • Действия с комплексными числами. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа
    • Корни из комплексных чисел. Корни из единицы
  • Линейная алгебра и геометрия
    • Линейные пространства. Базис, размерность
    • Линейные отображения и их матрицы
    • Ядро и образ линейного отображения
    • Ранг матрицы
    • Общая теория систем линейных уравнений
    • Пространства со скалярным произведением
    • Метод наименьших квадратов

Учебники

Лекции

  • Лекция 1 (прочитана 16.09): Линейные операции над векторами. Cлайды + Полезный дополнительный материал (на англ. языке)
  • Лекция 2 (прочитана 23.09): Скалярное и векторное умножение векторов. Cлайды + Полезный дополнительный материал (на англ. языке)
  • Лекция 3 (прочитана 26.09): Смешанное умножение векторов. Координаты точки. Cлайды
  • Лекция 4 (прочитана 30.09): Прямая на плоскости Cлайды
  • Лекция 5 (прочитана 07.10): Плоскость и прямая в пространстве Cлайды
  • Лекция 6 (прочитана 10.10): Формула Кардано. Постановка задачи о поле комплексных чисел Cлайды + Полезный дополнительный материал (на англ. языке) + то же с русским войсовером
  • Лекция 7 (прочитана 14.10): Построение поля комплексных чисел. Тригонометрическая форма записи комплексного числа Cлайды
  • Лекция 8 (прочитана 21.10): Показательная форма записи комплексного числа. Извлечение корней из комплексных чисел Cлайды + Полезный дополнительный материал (на англ. языке) + еще один (более сложный) (на англ. языке)
  • Лекция 9 (прочитана 24.10): Линейные пространства Cлайды
  • Лекция 10 (прочитана 28.10): Линейная зависимость и независимость векторов. Базис линейного пространства Cлайды
  • Лекция 11 (прочитана 07.11): Координаты векторов. Подпространства. Линейные многообразия. Cлайды
  • Лекция 12 (прочитана 11.11): Линейный оператор. Матрица оператора Cлайды + Полезный дополнительный материал (на англ. языке)
  • Лекция 13 (прочитана 18.11): Ядро и образ линейного оператора Cлайды
  • Лекция 14 (планируется 21.11): Ранг матрицы Cлайды
  • Лекция 15 (планируется 25.11): Умножение операторов и матриц. Обратная матрица
  • Лекция 16 (планируется 02.12): Системы линейных уравнений
  • Лекция 17 (планируется 05.12): Пространства со скалярным произведением
  • Лекция 18 (планируется 09.12): Ортогональность
  • Лекция 19 (планируется 16.12): Метод наименьших квадратов

Вопросы для самоконтроля по прочитанным лекциям

  • Векторная алгебра трехмерного пространства
  1. Доказать формулу «бац минус цаб»: a x (b x c) = b(ac) - c(ab).
  2. Доказать тождество Якоби (a x b) x c + (b x c) x a + (c x a) x b = 0.
  3. Пусть е,f,g - базис. Доказать, что вектора e x f, g x e, f x g также образуют базис. (Указание - эту задачу можно решать разными способами, но довольно поучительно перейти к координатам.)
  4. Матрица Грама базиса е_1,е_2,е_3 - это 3х3-матрица, у которой на месте (i,j) стоит скалярное произведение e_ie_j. Доказать, что определитель матрицы Грама отличен от 0. (Указание - с теми средствами, которыми вы располагаете сейчас, решить эту задачу непросто. Но попробуйте! Когда вы узнаете больше про матрицы и определители, эта задача станет совсем простой.)
  5. Алиса и Боб по очереди заполняют числами матрицу 2х2. Алиса (которая ходит первой) хочет добиться, чтобы определитель получившейся матрицы был отличен от 0, а Боб хочет добиться, чтобы этот определитель был равен 0. У кого из игроков есть выигрышная стратегия? А если Алиса хочет, чтобы получился нулевой определитель, а Боб - чтобы получился определитель, отличный от 0? Те же вопросы для матрицы 3х3. (Предостережение: для 3х3-матриц задача уже нетривиальна.)
  • Уравнения прямой и плоскости в трехмерном пространстве
  1. Исследовать взаимное расположение трех прямых на плоскости. (Здесь и далее под словом "исследовать" понимается следующее: указать условия на коэффициенты уравнений, отвечающие различным с геометрической точки зрения вариантам взаимного расположения задаваемых этими уравнениями объектов).
  2. На плоскости даны три параллельные прямые с уравнениями Ax+By+C=0, Ax+By+D=0, Ax+By+E=0. Указать необходимое и достаточное условие, при котором вторая прямая проходит между первой и третьей.
  3. На плоскости даны две параллельные прямые с уравнениями Ax+By+C=0, Ax+By+D=0. Придумать формулу, выражающее расстояние между этими прямыми через коэффициенты A,B,C,D. (Система координат - прямоугольная декартова.)
  4. На плоскости даны две пересекающиеся и неперпендикулярные прямые с уравнениями A_1x+B_1y+C_1=0, A_2x+B_2y+C_2=0. Написать уравнение биссектрисы острого угла между этими прямыми. (Система координат - прямоугольная декартова.)
  5. На плоскости даны две пересекающиеся прямые с уравнениями A_1x+B_1y+C_1=0, A_2x+B_2y+C_2=0. Доказать, что любая прямая, проходящая через точку пересечения этих прямых, задается уравнением s(A_1x+B_1y+C_1)+t(A_2x+B_2y+C_2)=0 для некоторых чисел s и t. Сколько пар (s,t) с таким свойством может быть для фиксированной прямой?
  6. Исследовать взаимное расположение трех плоскостей в пространстве.
  7. В пространстве даны три параллельные плоскости с уравнениями Ax+By+Cz+D=0, Ax+By+Cz+E=0, Ax+By+Cz+F=0. Указать необходимое и достаточное условие, при котором вторая плоскость проходит между первой и третьей.
  8. В пространстве даны две параллельные плоскости с уравнениями Ax+By+Cz+D=0, Ax+By+Cz+E=0 и прямая с уравнением x=x_0+mt, y=y_0+nt, z=z_0+pt. Указать необходимое и достаточное условие, при котором прямая расположена между плоскостями.
  9. В пространстве даны две скрещивающиеся прямые с уравнениями x=x_1+m_1t, y=y_1+n_1t, z=z_1+p_1t и x=x_2+m_2t, y=y_2+n_2t, z=z_2+p_2t и точка М(x_0,y_0,z_0). При каком условии через точку М можно провести плоскость Р так, чтобы эти две прямые лежали в разных полупространствах относительно Р?
  • Комплексные числа
  1. Можно ли ввести на множестве комплексных чисел линейный порядок, продолжающий обычный порядок на множестве действительных чисел и согласованный с операцией сложения? (Согласованность означает, что для любых x,y,z, если x < y, то x+z < y+z.) А линейный порядок, согласованный с операцией умножения? (Здесь согласованность означает, что для любых x,y,z, если x < y и z > 0, то xz < yz.)
  2. Некоторые натуральные числа (например, 1, 2, 4 или 5) можно представить в виде суммы квадратов двух целых чисел, а некоторые (например, 3, 6 или 7) нельзя. Доказать, что если натуральные числа m и n представимы в виде суммы квадратов двух целых чисел, то и их произведение mn представимо в виде такой суммы. (Указание - эту задачу можно решать и не используя комплексные числа, но "комплексное" решение прозрачно и не требует никаких вычислений.)
  3. Найти сумму k-х степеней всех корней n-й степени из 1.
  4. Найти произведение корней n-й степени из 1.
  5. Найти сумму всевозможных попарных произведений различных корней n-й степени из 1.
  6. Доказать, что все значения любой степени корня n-й степени из 1 с чисто мнимым показателем действительны.
  • Абстрактные векторные пространства
  1. Доказать, что аксиому 1а=а нельзя вывести из остальных аксиом линейного пространства.
  2. Доказать, что коммутативность сложения можно вывести из остальных аксиом линейного пространства. (Предостережение: задача нетривиальна.)
  3. Доказать, что в обычном трехмерном пространстве любые четыре вектора линейно зависимы.
  4. Доказать, что объединение двух подпространств будет подпространством тогда и только тогда, когда одно из этих подпространств содержится в другом.
  5. Может ли объединение трех попарно несравнимых подпространств быть подпространством? (Указание: рассмотрите двумерное пространство над двухэлементным полем.)
  6. Доказать, что для операций пересечения и суммы подпространств, вообще говоря, не выполняется дистрибутивный закон.
  7. Доказать, что для операций пересечения и суммы подпространств выполняется так называемый модулярный закон: если подпространство А содержит подпространство В, то для любого подпространства С пересечение А с суммой В+С равно сумме В и пересечения А с С.
  8. Формула для размерности суммы двух подпространств аналогична формуле включений и исключений для двух множеств. Верна ли формула для размерности суммы трех подпространств, построенная по аналогии с формулой включений и исключений для трех множеств? (Указание: рассмотрите три прямые в обычной двумерной плоскости.)
  9. Докажите, что линейные многообразия x+M и y+N равны тогда и только тогда, когда M = N и x-y лежит в М.

Смотрите также: