|
Алгебра и геометрия
Последнее изменение: 28/10/2024 18:37:27
Основной курс для 1-го потока ФИИТ первого курса (группы ФИИТ 101/102). В осеннем семестре 2024/25 учебного года читается по понедельникам с 12:50 в ауд. 532 и по четвергам четных недель с 14:30 в ауд. 621.
Краткое содержание курса
- Линейная геометрия трехмерного пространства
- Векторная алгебра трехмерного пространства
- Уравнения прямой и плоскости в трехмерном пространстве
- Основные метрические задачи на прямую и плоскость
- Комплексные числа
- Формула Кардано
- Понятие поля; построение поля комплексных чисел
- Действия с комплексными числами. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа
- Корни из комплексных чисел. Корни из единицы
- Линейная алгебра и геометрия
- Линейные пространства. Базис, размерность
- Линейные отображения и их матрицы
- Ядро и образ линейного отображения
- Ранг матрицы
- Общая теория систем линейных уравнений
- Пространства со скалярным произведением
- Метод наименьших квадратов
- Определители
- Существование и единственность
- Основные теоремы об определителях
- Приложения определителей: формула для обратной матрицы, ранг по минорам, правило Крамера
Учебники
Лекции
- Лекция 1 (прочитана 16.09): Линейные операции над векторами. Cлайды + Полезный дополнительный материал (на англ. языке)
- Лекция 2 (прочитана 23.09): Скалярное и векторное умножение векторов. Cлайды + Полезный дополнительный материал (на англ. языке)
- Лекция 3 (прочитана 26.09): Смешанное умножение векторов. Координаты точки. Cлайды
- Лекция 4 (прочитана 30.09): Прямая на плоскости Cлайды
- Лекция 5 (прочитана 07.10): Плоскость и прямая в пространстве Cлайды
- Лекция 6 (прочитана 10.10): Формула Кардано. Постановка задачи о поле комплексных чисел Cлайды + Полезный дополнительный материал (на англ. языке) + то же с русским войсовером
- Лекция 7 (прочитана 14.10): Построение поля комплексных чисел. Тригонометрическая форма записи комплексного числа Cлайды
- Лекция 8 (прочитана 21.10): Показательная форма записи комплексного числа. Извлечение корней из комплексных чисел Cлайды + Полезный дополнительный материал (на англ. языке) + еще один (более сложный) (на англ. языке)
- Лекция 9 (прочитана 24.10): Линейные пространства Cлайды
- Лекция 10 (планируется 28.10): Линейная зависимость и независимость векторов. Базис линейного пространства Cлайды
- Лекция 11 (планируется 07.11): Координаты векторов. Подпространства. Линейные многообразия.
Вопросы для самоконтроля по прочитанным лекциям
- Векторная алгебра трехмерного пространства
- Доказать формулу «бац минус цаб»: a x (b x c) = b(ac) - c(ab).
- Доказать тождество Якоби (a x b) x c + (b x c) x a + (c x a) x b = 0.
- Пусть е,f,g - базис. Доказать, что вектора e x f, g x e, f x g также образуют базис. (Указание - эту задачу можно решать разными способами, но довольно поучительно перейти к координатам.)
- Матрица Грама базиса е_1,е_2,е_3 - это 3х3-матрица, у которой на месте (i,j) стоит скалярное произведение e_ie_j. Доказать, что определитель матрицы Грама отличен от 0. (Указание - с теми средствами, которыми вы располагаете сейчас, решить эту задачу непросто. Но попробуйте! Когда вы узнаете больше про матрицы и определители, эта задача станет совсем простой.)
- Алиса и Боб по очереди заполняют числами матрицу 2х2. Алиса (которая ходит первой) хочет добиться, чтобы определитель получившейся матрицы был отличен от 0, а Боб хочет добиться, чтобы этот определитель был равен 0. У кого из игроков есть выигрышная стратегия? А если Алиса хочет, чтобы получился нулевой определитель, а Боб - чтобы получился определитель, отличный от 0? Те же вопросы для матрицы 3х3. (Предостережение: для 3х3-матриц задача уже нетривиальна.)
- Уравнения прямой и плоскости в трехмерном пространстве
- Исследовать взаимное расположение трех прямых на плоскости. (Здесь и далее под словом "исследовать" понимается следующее: указать условия на коэффициенты уравнений, отвечающие различным с геометрической точки зрения вариантам взаимного расположения задаваемых этими уравнениями объектов).
- На плоскости даны три параллельные прямые с уравнениями Ax+By+C=0, Ax+By+D=0, Ax+By+E=0. Указать необходимое и достаточное условие, при котором вторая прямая проходит между первой и третьей.
- На плоскости даны две параллельные прямые с уравнениями Ax+By+C=0, Ax+By+D=0. Придумать формулу, выражающее расстояние между этими прямыми через коэффициенты A,B,C,D. (Система координат - прямоугольная декартова.)
- На плоскости даны две пересекающиеся и неперпендикулярные прямые с уравнениями A_1x+B_1y+C_1=0, A_2x+B_2y+C_2=0. Написать уравнение биссектрисы острого угла между этими прямыми. (Система координат - прямоугольная декартова.)
- На плоскости даны две пересекающиеся прямые с уравнениями A_1x+B_1y+C_1=0, A_2x+B_2y+C_2=0. Доказать, что любая прямая, проходящая через точку пересечения этих прямых, задается уравнением s(A_1x+B_1y+C_1)+t(A_2x+B_2y+C_2)=0 для некоторых чисел s и t. Сколько пар (s,t) с таким свойством может быть для фиксированной прямой?
- Исследовать взаимное расположение трех плоскостей в пространстве.
- В пространстве даны три параллельные плоскости с уравнениями Ax+By+Cz+D=0, Ax+By+Cz+E=0, Ax+By+Cz+F=0. Указать необходимое и достаточное условие, при котором вторая плоскость проходит между первой и третьей.
- В пространстве даны две параллельные плоскости с уравнениями Ax+By+Cz+D=0, Ax+By+Cz+E=0 и прямая с уравнением x=x_0+mt, y=y_0+nt, z=z_0+pt. Указать необходимое и достаточное условие, при котором прямая расположена между плоскостями.
- В пространстве даны две скрещивающиеся прямые с уравнениями x=x_1+m_1t, y=y_1+n_1t, z=z_1+p_1t и x=x_2+m_2t, y=y_2+n_2t, z=z_2+p_2t и точка М(x_0,y_0,z_0). При каком условии через точку М можно провести плоскость Р так, чтобы эти две прямые лежали в разных полупространствах относительно Р?
- Можно ли ввести на множестве комплексных чисел линейный порядок, продолжающий обычный порядок на множестве действительных чисел и согласованный с операцией сложения? (Согласованность означает, что для любых x,y,z, если x < y, то x+z < y+z.) А линейный порядок, согласованный с операцией умножения? (Здесь согласованность означает, что для любых x,y,z, если x < y и z > 0, то xz < yz.)
- Некоторые натуральные числа (например, 1, 2, 4 или 5) можно представить в виде суммы квадратов двух целых чисел, а некоторые (например, 3, 6 или 7) нельзя. Доказать, что если натуральные числа m и n представимы в виде суммы квадратов двух целых чисел, то и их произведение mn представимо в виде такой суммы. (Указание - эту задачу можно решать и не используя комплексные числа, но "комплексное" решение прозрачно и не требует никаких вычислений.)
- Найти сумму k-х степеней всех корней n-й степени из 1.
- Найти произведение корней n-й степени из 1.
- Найти сумму всевозможных попарных произведений различных корней n-й степени из 1.
- Доказать, что все значения любой степени корня n-й степени из 1 с чисто мнимым показателем действительны.
- Абстрактные векторные пространства
- Доказать, что аксиому 1а=а нельзя вывести из остальных аксиом линейного пространства.
- Доказать, что коммутативность сложения можно вывести из остальных аксиом линейного пространства. (Предостережение: задача нетривиальна.)
- Доказать, что в обычном трехмерном пространстве любые четыре вектора линейно зависимы.
Смотрите также:
|
|