Алгебра и геометрия

Последнее изменение: 13/04/2024 07:54:11

Основной курс для 2-го потока ФИИТ первого курса (группы ФИИТ 103/104).

Учебники

  • А. И. Мальцев. Основы линейной алгебры
  • Д. К. Фаддеев. Лекции по алгебре
  • А. И. Кострикин. Введение в алгебру

Литература для дополнительного чтения

Результаты экзамена
Группа Отлично Хорошо Удовлетв. Неудовл. Не аттест. Всего
ФТ-103 2 10 9 4 1 26
ФТ-104 1 5 6 12 5 29
Поток 3 15 15 16 6 55

Пересдача: 13-го октября, по тем же правилам, что и экзамен.

Выдача билетов - 16:00, ауд. 609, готовиться к ответу можно будет в ауд. 607. Начало опроса в 17:40.

Вопросы к экзамену

Краткое содержание курса

  • Многочлены
    • Основные понятия теории делимости. Отношение ассоциированности
    • Деление многочленов с остатком
    • Теорема о наибольшем общем делителе. Алгоритм Евклида
    • Существование и однозначность разложения на неприводимые многочлены в кольце многочленов над полем
    • Поле частных области. Рациональные дроби.
    • Кольцо многочленов над областью с однозначным разложением. Лемма Гаусса и ее следствия
    • Однозначность разложения на неприводимые многочлены в кольце многочленов над областью с однозначным разложением
    • Теорема Безу. Корни многочлена.
    • Классификация неприводимых многочленов над полями комплексных и действительных чисел
    • Неприводимые многочлены с целыми коэффициентами. Критерий Эйзенштейна. Алгоритм Кронекера
    • Неприводимые многочлены над полями вычетов
    • Отделение кратных множителей
    • Кратные корни. Число корней многочлена n-й степени
    • Поле разложения многочлена. Конечные поля
    • Симметрические многочлены. Формулы Виета. Основная теорема о симметрических многочленах
    • Лемма о модуле старшего члена. Основная теорема алгебры комплексных чисел.
  • Линейные операторы
    • Изменение матрицы при замене базиса
    • Собственные числа и собственные значения линейного оператора. Линейные операторы простой структуры
    • Линейные функционалы. Теорема о строении линейного функционала на унитарном (евклидовом) пространстве.
    • Сопряженный оператор. Линейность сопряженного оператора. Свойства операции сопряжения. Матрица сопряженного оператора
    • Теорема Фредгольма. Альтернатива Фредгольма.
    • Нормальный оператор. Теорема о строении нормального оператора.
    • Унитарные и ортогональные операторы.
    • Самосопряженные операторы.
    • Неотрицательные самосопряженные операторы. Квадратные корни из неотрицательных самосопряженных операторов.
    • Полярное разложение оператора на унитарном (евклидовом) пространстве
    • Сингулярные числа и их применения. Теорема Эккарта-Янга
    • Псевдообратный оператор. Нормальное псевдорешение несовместной системы линейных уравнений.
  • Жорданова теория
    • Разложение Фиттинга. Корневое разложение. Теорема о корневом разложении.
    • Теорема о минимальном многочлене. Теорема Гамильтона-Кэли
    • Жорданов базис нильпотентного оператора
    • Теорема Жордана
  • Квадратичные формы
    • Метод Лагранжа
    • Закон инерции действительных квадратичных форм
    • Критерий Сильвестра
  • Квадрики на плоскости и в пространстве
    • Эллипс, гипербола, парабола
    • Упрощение уравнения 2-го порядка от двух переменных. Классификация плоских квадрик
    • Эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды, конусы, цилиндры
    • Упрощение уравнения 2-го порядка от трех переменных. Классификация пространственных квадрик

Слайды прочитанных лекций и дополнительный материал

Вопросы для самоконтроля по прочитанным лекциям

  • Многочлены
  1. Докажите, что над любым полем множество неприводимых многочленов от одного неизвестного бесконечно. (Совет: для конечного поля примените аргумент Евклида из классического доказательства бесконечности множества простых чисел.)
  2. Существует ли область с однозначным разложением, в которой число неразложимых элементов конечно?
  3. Пусть все коэффициенты многочлена f(x) из Z[x], кроме его свободного члена, делятся на некоторое простое число p, а старший коэффициент не делится на p^2. Докажите, что f(x) неприводим.
  4. Докажите, что многочлен x^4+1 неприводим над кольцом целых чисел, но приводим над полями вычетов по модулям 2, 3 и 5. (На самом деле этот многочлен приводим над полем вычетов по любому простому модулю, но доказать это элементарными средствами затруднительно.)
  5. Известно, что у некоторого многочлена n-й степени с действительными коэффициентами ровно n действительных корней и все корни различны. Доказать, что у его производной ровно n-1 действительных корней и все корни различны.
  6. Многочлен с действительными коэффициентами принимает целые значения во всех целых точках. Следует ли отсюда, что его коэффициенты целые числа? рациональные числа?
  7. Доказать, что у многочлена, неприводимого над кольцом целых чисел, не может быть кратных комплексных корней.
  • Линейные операторы
  1. Докажите, что если матрица линейного оператора на пространстве L не зависит от выбора базиса в L, то действие оператора состоит в умножении каждого вектора пространства на фиксированный скаляр (в геометрии такой оператор называют гомотетией).
  2. Что представляет собой линейный оператор, для которого каждый ненулевой вектор пространства является собственным?
  3. На пространстве всех nxn-матриц рассмотрим оператор транспонирования. Найти собственные значения этого оператора и охарактеризовать отвечающие им собственные вектора.
  4. Пусть А - самосопряженный оператор. Докажите, что существует самосопряженный кубический корень из А, т.е. самосопряженный оператор В такой, что B^3=A.
  5. Пусть А - неотрицательный самосопряженный оператор. Докажите, что квадратный корень из А перестановочен с каждым оператором, с которым перестановочен А.
  6. Оператор А на евклидовом или унитарном пространстве называется кососимметрическим, если А*=-А. Докажите, что все собственные значения кососимметрического оператора - чисто мнимые числа.
  7. Докажите, что кососимметрический оператор нормален. К какому простейшему виду можно привести матрицу кососимметрического оператора в унитарном пространстве? В евклидовом пространстве?
  8. Докажите, что любой оператор в евклидовом или унитарном пространстве можно представить в виде суммы самосопряженного оператора и кососимметрического оператора.
  9. Докажите, что произведение двух самосопряженных операторов будет самосопряженным тогда и только тогда, когда эти операторы перестановочны. Что можно сказать о произведении двух перестановочных кососимметрических операторов?
  10. Докажите, что если в полярном разложении оператора самосопряженный и унитарный множители перестановочны, то оператор нормален.
  11. Докажите, что оператор на унитарном пространстве переводит каждый вектор в ортогональный ему вектор, то этот оператор нулевой. Верно ли аналогичное утверждение для операторов на евклидовом пространстве?
  12. Докажите, что если оператор А на унитарном пространстве таков, что скалярное произведение каждого вектора с его образом под действием А - действительное число, то А - самосопряженный оператор.
  13. (Тождество Холла) Докажите, что для любых 2х2-матриц А,В,С верно равенство (АВ-ВА)(АВ-ВА)С=С(АВ-ВА)(АВ-ВА). (Указание: воспользуйтесь теоремой Гамильтона-Кэли.)
  14. Доказать, что каждая комплексная nxn-матрица подобна своей транспонированной матрице. (Указание: сначала докажите утверждение для случая, когда матрица находится в нормальной жордановой форме.)
  15. Доказать, что все нильпотентные nxn-матрицы ранга 1 подобны между собой.
  16. Укажите жорданов базис для оператора двухкратного дифференцирования на пространстве всех действительных многочленов степени не выше n.
  17. Докажите, что у жордановой клетки минимальный многочлен совпадает с характеристическим. Что можно сказать о нормальной жордановой форме линейного оператора, у которого минимальный многочлен совпадает с характеристическим?
  18. У жордановой клетки все единички над главной диагональю заменили двойками. Докажите, что получившаяся матрица подобна исходной жордановой клетке.
  19. Матрицу умножили на 2. Как изменится ее жорданова форма?

Смотрите также: