Алгебра и геометрия

Последнее изменение: 27/09/2021 10:49:53

Основной курс для потока ФИИТ первого курса. В весеннем семестре 2020/21 учебного года читается по четвергам с 12:50 и по субботам нечетных недель с 10:40 в MS Teams. Консультация по понедельникам с 14:30 (кроме третьего понедельника каждого месяца) в ауд. 609. Пересдача задолженностей за первый семестр во время консультаций, начиная с 22-го марта.

Вопросы к экзамену    Мотивирующее видео к экзамену

Расписание консультаций и экзаменов
Группа Консультация Экзамен
ФТ-101 23 июня c 9:00 24 июня с 10:30
ФТ-102 23 июня c 9:00 25 июня с 9:00
ФТ-103 7 июня c 9:00 8 июня с 9:00
ФТ-104 7 июня c 9:00 9 июня с 9:00

Консультации и экзамены будут проходить в MS Teams. Формат экзамена будет аналогичен формату экзаменов в зимнюю сессию.

Учебники

  • А. И. Мальцев. Основы линейной алгебры
  • Д. К. Фаддеев. Лекции по алгебре
  • А. И. Кострикин. Введение в алгебру

Литература для дополнительного чтения

Краткое содержание курса

  • Определители
    • Определитель квадратной матрицы; основные теоремы об определителях - теорема единственности, теорема существования, теорема симметрии.
    • Определитель Вандермонда. Определитель полураспавшейся матрицы. Определитель произведения матриц.
    • Выражение для обратной матрицы через определитель. Ранг матрицы по минорам
    • Правило Крамера для решения систем линейных уравнений. Определяемость многочлена n-й степени значениями в n+1 точке. Интерполяционный многочлен Лагранжа
  • Многочлены
    • Основные понятия теории делимости. Отношение ассоциированности
    • Деление многочленов с остатком
    • Теорема о наибольшем общем делителе. Алгоритм Евклида
    • Существование и однозначность разложения на неприводимые многочлены в кольце многочленов над полем
    • Поле частных области
    • Кольцо многочленов над областью с однозначным разложением. Лемма Гаусса и ее следствия
    • Однозначность разложения на неприводимые многочлены в кольце многочленов над областью с однозначным разложением
    • Теорема Безу. Корни многочлена.
    • Классификация неприводимых многочленов над полями комплексных и действительных чисел
    • Неприводимые многочлены с целыми коэффициентами. Критерий Эйзенштейна. Алгоритм Кронекера
    • Неприводимые многочлены над полями вычетов
    • Отделение кратных множителей
    • Кратные корни. Число корней многочлена n-й степени
    • Поле разложения многочлена. Конечные поля
    • Симметрические многочлены. Формулы Виета. Основная теорема о симметрических многочленах
    • Лемма о модуле старшего члена. Основная теорема алгебры комплексных чисел.
  • Линейные операторы
    • Изменение матрицы при замене базиса
    • Собственные числа и собственные значения линейного оператора. Линейные операторы простой структуры
    • Нормальный оператор. Теорема о строении нормального оператора.
    • Унитарные и ортогональные операторы.
    • Самосопряженные операторы.
    • Неотрицательные самосопряженные операторы. Квадратные корни из неотрицательных самосопряженных операторов.
    • Полярное разложение оператора на унитарном (евклидовом) пространстве
    • Сингулярные числа и их применения
  • Жорданова теория
    • Разложение Фиттинга. Корневое разложение. Теорема о корневом разложении.
    • Теорема о минимальном многочлене. Теорема Гамильтона-Кэли
    • Жорданов базис нильпотентного оператора
    • Теорема Жордана
  • Квадратичные формы
    • Метод Лагранжа
    • Закон инерции действительных квадратичных форм
    • Критерий Сильвестра
  • Квадрики на плоскости и в пространстве
    • Эллипс, гипербола, парабола
    • Упрощение уравнения 2-го порядка от двух переменных. Классификация плоских квадрик
    • Эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды, конусы, цилиндры
    • Упрощение уравнения 2-го порядка от трех переменных. Классификация пространственных квадрик

Слайды прочитанных лекций и дополнительный материал

Видеозаписи лекций

Вопросы для самоконтроля по прочитанным лекциям

  • Определители
  1. Алиса и Боб по очереди заполняют числами матрицу 2х2. Алиса (которая ходит первой) хочет добиться, чтобы определитель получившейся матрицы был отличен от 0, а Боб хочет добиться, чтобы этот определитель был равен 0. У кого из игроков есть выигрышная стратегия? А если Алиса хочет, чтобы получился нулевой определитель, а Боб - чтобы получился определитель, отличный от 0? Те же вопросы для матрицы 3х3. (Предостережение: для 3х3-матриц задача уже нетривиальна.)
  2. Пусть определитель nxn-матрицы A равен d. Чему равен определитель матрицы kА?
  3. Пусть определитель nxn-матрицы А равен d. Чему равен определитель матрицы, присоединенной к А?
  4. Пусть ранг nxn-матрицы А равен r. Чему равен ранг матрицы, присоединенной к А?
  5. Доказать, что при перестановке двух строк матрицы в присоединенной матрице происходит такая же перестановка столбцов и все элементы присоединенной матрицы меняют знак.
  6. Доказать, что матрица, обратная к верхнетреугольной матрице, сама является верхнетреугольной.
  7. (Теорема Гамильтона-Кэли) Пусть А - 2х2-матрица, s - ее след (сумма диагональных элементов), а d - ее определитель. Проверить, что А^2-sA+dE=0.
  8. Через tr(A) обозначается след матрицы А. Доказать, что удвоенный определитель 2х2-матрицы А равен tr(A)^2-tr(A^2).
  9. Привести пример 4х4-матрицы, определитель которой не равен ad-bc, где a - определитель верхнего левого 2х2-блока, b - определитель верхнего правого 2х2-блока, c - определитель нижнего левого 2х2-блока, d - определитель нижнего правого 2х2-блока.
  10. Доказать, что определитель действительной кососимметрической матрицы нечетного порядка равен 0.
  11. Пусть в nxn-матрице А есть такие s строк и t столбцов, что все элементы, стоящие на их пересечении, равны 0 и s+t>n. Доказать, что определитель матрицы А равен 0.
  • Многочлены
  1. Докажите, что над любым полем множество неприводимых многочленов от одного неизвестного бесконечно. (Совет: для конечного поля примените аргумент Евклида из классического доказательства бесконечности множества простых чисел.)
  2. Существует ли область с однозначным разложением, в которой число неразложимых элементов конечно?
  3. Пусть все коэффициенты многочлена f(x) из Z[x], кроме его свободного члена, делятся на некоторое простое число p, а старший коэффициент не делится на p^2. Докажите, что f(x) неприводим.
  4. Известно, что у некоторого многочлена n-й степени с действительными коэффициентами ровно n действительных корней и все корни различны. Доказать, что у его производной ровно n-1 действительных корней и все корни различны.
  5. Многочлен с действительными коэффициентами принимает целые значения во всех целых точках. Следует ли отсюда, что его коэффициенты целые числа? рациональные числа?
  6. Доказать, что у многочлена, неприводимого над кольцом целых чисел, не может быть кратных комплексных корней.
  7. Докажите, что многочлен x^4+1 неприводим над кольцом целых чисел, но приводим над кольцом вычетов по любому простому модулю.
  • Линейные операторы
  1. Докажите, что если матрица линейного оператора на пространстве L не зависит от выбора базиса в L, то действие оператора состоит в умножении каждого вектора пространства а фиксированный скаляр (в геометрии такой оператор называют гомотетией).
  2. Что представляет собой линейный оператор, для которого каждый ненулевой вектор пространства является собственным?
  3. На пространстве всех nxn-матриц рассмотрим оператор транспонирования. Найти собственные значения этого оператора и охарактеризовать отвечающие им собственные вектора.
  4. Два оператора А и В называются перестановочными, если АВ=ВА. Докажите, что у перестановочных операторов, действующих на n-мерном комплексном пространстве, есть общий собственный вектор.
  5. Известно, что некоторая степень линейного оператора, действующего на n-мерном комплексном пространстве, равна единичному оператору. Докажите, что этот оператор диагонализируем. Верно ли аналогичное утверждение для операторов, действующих на n-мерном действительном пространстве?
  6. Известно, что некоторая степень ненулевого линейного оператора равна нулевому оператору. Докажите, что этот оператор недиагонализируем.
  7. Линейный оператор умножили на 2. Как изменятся коэффициенты характеристического многочлена?
  8. (Тождество Холла) Докажите, что для любых 2х2-матриц А,В,С верно равенство (АВ-ВА)(АВ-ВА)С=С(АВ-ВА)(АВ-ВА). (Указание: воспользуйтесь теоремой Гамильтона-Кэли.)
  9. Пусть А - самосопряженный оператор. Докажите, что существует самосопряженный кубический корень из А, т.е. самосопряженный оператор В такой, что B^3=A.
  10. Пусть А - неотрицательный самосопряженный оператор. Докажите, что квадратный корень из А перестановочен с каждым оператором, с которым перестановочен А.
  11. Оператор А на евклидовом или унитарном пространстве называется кососимметрическим, если А*=-А. Докажите, что все собственные значения кососимметрического оператора - чисто мнимые числа.
  12. Докажите, что кососимметрический оператор нормален. К какому простейшему виду можно привести матрицу кососимметрического оператора в унитарном пространстве? В евклидовом пространстве?
  13. Докажите, что любой оператор в евклидовом или унитарном пространстве можно представить в виде суммы самосопряженного оператора и кососимметрического оператора.
  14. Докажите, что произведение двух самосопряженных операторов будет самосопряженным тогда и только тогда, когда эти операторы перестановочны. Что можно сказать о произведении двух перестановочных кососимметрических операторов?
  15. Докажите, что если в полярном разложении оператора самосопряженный и унитарный множители перестановочны, то оператор нормален.
  16. Докажите, что оператор на унитарном пространстве переводит каждый вектор в ортогональный ему вектор, то этот оператор нулевой. Верно ли аналогичное утверждение для операторов на унитарном пространстве?
  17. Докажите, что если оператор А на унитарном пространстве таков, что скалярное произведение каждого вектора с его образом под действием А - действительное число, то А - самосопряженный оператор.
  18. Доказать, что каждая комплексная nxn-матрица подобна своей транспонированной матрице. (Указание: сначала докажите утверждение для случая, когда матрица находится в нормальной жордановой форме.)
  19. Доказать, что все нильпотентные nxn-матрицы ранга 1 подобны между собой.
  20. Укажите жорданов базис для оператора двухкратного дифференцирования на пространстве всех действительных многочленов степени не выше n.
  21. Докажите, что у жордановой клетки минимальный многочлен совпадает с характеристическим. Что можно сказать о нормальной жордановой форме линейного оператора, у которого минимальный многочлен совпадает с характеристическим?
  22. У жордановой клетки все единички над главной диагональю заменили двойками. Докажите, что получившаяся матрица подобна исходной жордановой клетке.
  23. Матрицу умножили на 2. Как изменится ее жорданова форма?

Смотрите также: