Алгебра и геометрия

Последнее изменение: 28/05/2024 16:21:19

Обязательный курс для потока КНМО. В весеннем семестре 2023/24 учебного года читается по вторникам 2-й парой и по пятницам четных недель 2-й парой в ауд. 532.

Вопросы для самоконтроля по прочитанным лекциям

  • Линейные операторы
  1. Докажите, что если матрица линейного оператора на пространстве L не зависит от выбора базиса в L, то действие оператора состоит в умножении каждого вектора пространства на фиксированный скаляр (в геометрии такой оператор называют гомотетией).
  2. Что представляет собой линейный оператор, для которого каждый ненулевой вектор пространства является собственным?
  3. На пространстве всех nxn-матриц рассмотрим оператор транспонирования. Найти собственные значения этого оператора и охарактеризовать отвечающие им собственные вектора.
  4. (Тождество Холла) Докажите, что для любых 2х2-матриц А,В,С верно равенство (АВ-ВА)(АВ-ВА)С=С(АВ-ВА)(АВ-ВА). (Указание: воспользуйтесь теоремой Гамильтона-Кэли.)
  5. Пусть А - обратимый оператор n-мерного пространства. Докажите, что обратный к А оператор можно представить как многочлен от А степени n-1. (Указание: воспользуйтесь теоремой Гамильтона-Кэли.)
  6. Оператор, обратный самому себе, называют инволютивным. Докажите, что любой инволютивный оператор диагонализируем. Каков геометрический смысл инволютивного оператора в трехмерном пространстве?
  7. Следом квадратной матрицы называют сумму ее элементов, стоящих на главной диагонали. Докажите, что след нильпотентной матрицы равен 0, а след идемпотентной матрицы равен ее рангу. (Указание: подумайте, как связан след матрицы с ее собственными значениями.)
  8. Доказать, что каждая комплексная nxn-матрица подобна своей транспонированной матрице. (Указание: сначала докажите утверждение для случая, когда матрица находится в нормальной жордановой форме.)
  9. Доказать, что все нильпотентные nxn-матрицы ранга 1 подобны между собой.
  10. Укажите жорданов базис для оператора двухкратного дифференцирования на пространстве всех действительных многочленов степени не выше n.
  11. Докажите, что у жордановой клетки минимальный многочлен совпадает с характеристическим. Что можно сказать о нормальной жордановой форме линейного оператора, у которого минимальный многочлен совпадает с характеристическим?
  12. У жордановой клетки все единички под главной диагональю заменили двойками. Докажите, что получившаяся матрица подобна исходной жордановой клетке.
  13. Матрицу умножили на 2. Как изменится ее жорданова форма?
  14. Пусть А - самосопряженный оператор. Докажите, что существует самосопряженный кубический корень из А, т.е. самосопряженный оператор В такой, что B^3=A.
  15. Пусть А - неотрицательный самосопряженный оператор. Докажите, что квадратный корень из А перестановочен с каждым оператором, с которым перестановочен А.
  16. Оператор А на евклидовом или унитарном пространстве называется кососимметрическим, если А*=-А. Докажите, что все собственные значения кососимметрического оператора - чисто мнимые числа.
  17. Докажите, что кососимметрический оператор нормален. К какому простейшему виду можно привести матрицу кососимметрического оператора в унитарном пространстве? В евклидовом пространстве?
  18. Докажите, что любой оператор в евклидовом или унитарном пространстве можно представить в виде суммы самосопряженного оператора и кососимметрического оператора.
  19. Докажите, что произведение двух самосопряженных операторов будет самосопряженным тогда и только тогда, когда эти операторы перестановочны. Что можно сказать о произведении двух перестановочных кососимметрических операторов?
  20. Докажите, что оператор на унитарном пространстве переводит каждый вектор в ортогональный ему вектор, то этот оператор нулевой. Верно ли аналогичное утверждение для операторов на евклидовом пространстве?
  21. Докажите, что если оператор А на унитарном пространстве таков, что скалярное произведение каждого вектора с его образом под действием А - действительное число, то А - самосопряженный оператор.

Смотрите также: