Бондарь Евгения Алексеевна: Билеты по курсам

Последнее изменение: 19/05/2026 06:49:10

Алгебра и геометрия (ФИИТ 1 курс)

Вопросы к экзамену (зимняя сессия)

  1. Линейные операции с векторами трехмерного пространства. Свойства линейных операций.
  2. Базис трехмерного пространства. Разложение вектора по базису. Координаты вектора.
  3. Скалярное произведение в трехмерном пространстве. Свойства скалярного произведения. Скалярное произведение в координатах.
  4. Векторное и смешанное произведения в трехмерном пространстве. Теорема о смешанном произведении.
  5. Свойства векторного произведения. Векторное и смешанное произведения в координатах.
  6. Типы уравнений прямой на плоскости (с выводом).
  7. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Расположение точек относительно прямой.
  8. Типы уравнений плоскости (с выводом).
  9. Взаимное расположение двух плоскостей. Расположение точек относительно плоскости.
  10. Прямая в пространстве. Общее и каноническое уравнения прямой.
  11. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости.
  12. Основные метрические задачи на прямую и плоскость. Расстояние от точки до прямой (на плоскости и в пространстве). Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между скрещивающимися прямыми. Угол между прямыми. Угол между плоскостями. Угол между прямой и плоскостью.
  13. Конструкция поля комплексных чисел.
  14. Сопряженные комплексные числа. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Показательная форма записи комплексного числа.
  15. Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа. Корни из единицы и их свойства.
  16. Аксиомы линейного пространства. Линейная зависимость. Лемма о правом крайнем.
  17. Системы образующих и базисы. Теорема о существовании базиса.
  18. Теорема о равномощности базисов. Размерность пространства. Теорема о продолжении.
  19. Подпространства. Действия с подпространствами. Размерность суммы двух подпространств. Прямые суммы.
  20. Линейные операторы. Операции над линейными операторами. Матрица линейного оператора. Связь между действиями над операторами и действиями над матрицами.
  21. Ядро и образ линейного оператора. Теорема о сумме ранга и дефекта. Алгоритм одновременного вычисления ядра и образа.
  22. Ранг матрицы. Теорема о ранге.
  23. Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
  24. Умножение операторов и матриц. Обратный оператор. Линейность оператора, обратного к линейному. Алгоритм вычисления обратной матрицы.
  25. Однородные системы линейных уравнений. Теорема о размерности пространства решений однородной системы. Фундаментальная система решений и алгоритм ее построения.
  26. Аксиомы евклидовых и унитарных пространства. Длина вектора. Неравенство Коши–Буняковского.
  27. Ортогональные системы. Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Ортонормированный базис.
  28. Ортогональное дополнение подпространства. Ортогональные разложения.

Литература

  1. А. И. Мальцев. Основы линейной алгебры
  2. Д. К. Фадеев. Лекции по алгебре
  3. А.И. Кострикин Введение в алгебру
  4. Александров Лекции по аналитической геометрии

Летняя сессия (предварительный список)

Многочлены

  1. Псевдорешения несовместных систем линейных уравнений. Метод наименьших квадратов.
  2. Основные понятия теории делимости. Отношение ассоциированности. Деление многочленов с остатком.
  3. Теорема о наибольшем общем делителе. Алгоритм Евклида.
  4. Существование и однозначность разложения на неразложимые множители в кольце многочленов над полем.
  5. Поле частных области. Лемма Гаусса и ее следствия.
  6. Однозначность разложения на неприводимые многочлены в кольце многочленов над областью с однозначным разложением. Теорема о переносе.
  7. Неприводимые многочлены с целыми коэффициентами. Критерий Эйзенштейна. Алгоритм Кронекера.
  8. Теорема Безу. Корни многочлена. Классификация неприводимых мн-в над C и R.
  9. Формальная производная многочлена. Отделение кратных множителей.
  10. Симметрические многочлены. Формулы Виета. Основная теорема о симметрических многочленах.

Определители

  1. Перестановки и подстановки (с док-вом). Определитель
  2. Определитель квадратной матрицы и его свойства.
  3. Определитель полураспавшейся матрицы. Определитель произведения матриц.
  4. Ранг матрицы по минорам
  5. Правило Крамера для решения систем линейных уравнений.

Линейные операторы

  1. Формулы смены координат. Изменение матрицы при замене базиса.
  2. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Характеристический многочлен линейного оператора. Предложение о линейной независимости собственных векторов, принадлежащих различным собственным значениям. Признак диагонализируемости линейного оператора.
  1. Сопряженный оператор. Линейность сопряженного оператора. Свойства операции сопряжения. Матрица сопряженного оператора
  2. Нормальный оператор. Ортогональность собственных векторов, принадлежащих различным собственным значениям нормального оператора. Теорема о строении нормального оператора на унитарном пространстве.
  3. Теорема о строении нормального оператора на евклидовом пространстве.
  4. Унитарный (ортогональный) оператор. Матрица унитарного (ортогонального) оператора. Характеризация унитарного (ортогонального) оператора как движения.
  5. Свойства изометрических операторов.Теорема о строении унитарного (ортогонального) оператора на унитарном (евклидовом) пространстве.
  6. Самосопряженный оператор. Матрица самосопряженного оператора. Теорема о строении самосопряженного оператора.
  7. Теорема Фредгольма. Изоморфизм U_0 и V_0
  8. Неотрицательные самосопряженные операторы. Сингулярные базисы
  9. Сингулярные числа лоп (Определение, теорема и следствие з нее)
  10. Теорема о сингулярном разложении и следствие из нее.

Квадратичные формы

  1. Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
  2. Закон инерции действительных квадратичных форм.

Квадрики на плоскости и в пространстве

  1. Эллипс. Гипербола. Парабола.
  2. Классификация квадрик на плоскости
  3. Классификация пространственных квадрик.

Смотрите также: