Бондарь Евгения Алексеевна: Билеты по курсам

Последнее изменение: 20/11/2025 07:05:59

Алгебра и геометрия (ФИИТ 1 курс)

Вопросы к экзамену (зимняя сессия)

  1. Линейные операции с векторами трехмерного пространства. Свойства линейных операций.
  2. Базис трехмерного пространства. Разложение вектора по базису. Координаты вектора.
  3. Скалярное произведение в трехмерном пространстве. Свойства скалярного произведения. Скалярное произведение в координатах.
  4. Векторное и смешанное произведения в трехмерном пространстве. Теорема о смешанном произведении.
  5. Свойства векторного произведения. Векторное и смешанное произведения в координатах.
  6. Типы уравнений прямой на плоскости (с выводом).
  7. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Расположение точек относительно прямой.
  8. Типы уравнений плоскости (с выводом).
  9. Взаимное расположение двух плоскостей. Расположение точек относительно плоскости.
  10. Прямая в пространстве. Общее и каноническое уравнения прямой.
  11. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости.
  12. Основные метрические задачи на прямую и плоскость. Расстояние от точки до прямой (на плоскости и в пространстве). Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между скрещивающимися прямыми. Угол между прямыми. Угол между плоскостями. Угол между прямой и плоскостью.
  13. Конструкция поля комплексных чисел.
  14. Сопряженные комплексные числа. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Показательная форма записи комплексного числа.
  15. Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа. Корни из единицы и их свойства.
  16. Аксиомы линейного пространства. Линейная зависимость. Лемма о правом крайнем.
  17. Системы образующих и базисы. Теорема о существовании базиса.
  18. Теорема о равномощности базисов. Размерность пространства. Теорема о продолжении.
  19. Подпространства. Действия с подпространствами. Размерность суммы двух подпространств. Прямые суммы.
  20. Линейные операторы. Операции над линейными операторами. Матрица линейного оператора. Связь между действиями над операторами и действиями над матрицами.
  21. Ядро и образ линейного оператора. Теорема о сумме ранга и дефекта. Алгоритм одновременного вычисления ядра и образа.
  22. Ранг матрицы. Теорема о ранге.
  23. Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
  24. Умножение операторов и матриц. Обратный оператор. Линейность оператора, обратного к линейному. Алгоритм вычисления обратной матрицы.
  25. Однородные системы линейных уравнений. Теорема о размерности пространства решений однородной системы. Фундаментальная система решений и алгоритм ее построения.
  26. Аксиомы евклидовых и унитарных пространства. Длина вектора. Неравенство Коши–Буняковского.
  27. Ортогональные системы. Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Ортонормированный базис.
  28. Ортогональное дополнение подпространства. Ортогональные разложения.
  29. Псевдорешения несовместных систем линейных уравнений. Метод наименьших квадратов.

Литература

  1. А. И. Мальцев. Основы линейной алгебры
  2. Д. К. Фаддеев. Лекции по алгебре
  3. А.И. Кострикин Введение в алгебру
  4. Александров Лекции по аналитической геометрии

Смотрите также: