Линейная алгебра и геометрия

Последнее изменение: 01/05/2021 08:51:07

Основной курс линейной алгебры для потока математиков 1-го курса. Читается по вторникам и четвергам 2-й парой в ауд.622.

Экзамен состоится 7-го июня в ауд. 605, начало в 9:00.

Консультация - 6-го июня в ауд. 632, начало в 15:00.

Учебники

А. И. Мальцев. Основы линейной алгебры.
Д. К. Фаддеев. Лекции по алгебре.

Литература для дополнительного чтения

Carl D. Meyer. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra
В. В. Прасолов. Задачи и теоремы линейной алгебры

Вопросы к экзамену

Краткое содержание курса

Линейные пространства
- Линейная зависимость, базис, размерность
- Координаты вектора в базиса. Замена базисов
- Изоморфизм линейных пространств
- Подпространства. Операции над подпространствами. Прямые суммы
Ранг матрицы, системы линейных уравнений
- Теорема о ранге матрицы. Вычисление ранга
- Теорема Кронекера-Капелли
- Пространство решений однородной системы. Фундаментальная система решений
Линейные операторы, жорданова теория одного линейного оператора
- Матрица оператора, изменение матрицы при замене базиса
- Ядро и образ линейного оператора, теорема о сумме ранга и дефекта, алгоритм одновременного вычисления ядра и образа
- Собственные числа и собственные значения линейного оператора. Линейные операторы простой структуры
- Разложение Фиттинга. Корневое разложение. Теорема о корневом разложении.
- Теорема о минимальном многочлене. Теорема Гамильтона-Кэли
- Жорданов базис нильпотентного оператора
- Теорема Жордана
Евклидовы и унитарные пространства
- Свойства скалярного произведения, неравенство Коши-Буняковского
- Ортогональные базисы, процесс ортогонализации Грама-Шмидта
- Изоморфизм унитарных (евклидовых) пространств
- Ортогональные дополнения
Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах
- Строение линейного функционала в унитарном (евклидовом) пространстве
- Сопряженный оператор. Матрица сопряженного оператора
- Нормальный оператор. Теорема о строении нормального оператора.
- Унитарные и ортогональные операторы.
- Самосопряженные операторы.
- Неотрицательные самосопряженные операторы. Квадратные корни из неотрицательных самосопряженных операторов.
- Полярное разложение оператора на унитарном (евклидовом) пространстве
Квадратичные формы
- Метод Лагранжа
- Закон инерции действительных квадратичных форм
- Критерий Сильвестера

Контрольные вопросы по прочитанным лекциям

Симметрические многочлены

Докажите, что сумма кубов корней многочлена с целыми коэффициентами - рациональное число.
Найти сумму всех попарных произведений корней n-й степени из единицы.

Линейные пространства

Выведите из аксиом линейного пространства единственность нулевого вектора.
Выведите из аксиом линейного пространства, что для каждого вектора а существвет единственный вектор (-а) такой, что а+(-а)=0.
Выведите из аксиом линейного пространства, что (-1)а=-а для любого вектора а.
(нетривиально!) Выведите аксиому коммутативности сложения из остальных аксиом линейного пространства.
Докажите, что аксиому 1а=а нельзя вывести из остальных аксиом линейного пространства.
(нетривиально!) Докажите, что система функций sin(x), sin(2x), ..., sin(nx) линейно независима при любом n.
Квадратная матрица называется симметрической, если она совпадает со своей транспонированной. Вычислить размерность пространства всех симметрических nxn-матриц.
Пусть в пространстве имеются три базиса, Т - матрица перехода от 1-го базиса ко 2-му, а S - матрица перехода от 2-го базиса к 3-му. Найти матрицу перехода от 1-го базиса к 3-му.
Доказать, что объединение двух подпространств будет подпространством тогда и только тогда, когда одно из этих подпространств содержится в другом.
Может ли объединение трех попарно несравнимых подпространств быть подпространством? (Указание: рассмотрите двумерное пространство над двухэлементным полем.)
Доказать, что для операций пересечения и суммы подпространств, вообще говоря, не выполняется дистрибутивный закон.
Доказать, что для операций пересечения и суммы подпространств выполняется так называемый модулярный закон: если подпространство А содержит подпространство В, то для любого подпространства С пересечение А с суммой В+С равно сумме В и пересечения А с С.

Общая теория систем линейных уравнений

Доказать, что произвольная матрица ранга r представима в виде суммы r матриц ранга 1.
Доказать, что элементарные преобразования над строками nxs-матрицы A равносильны умножению матрицы A на подходящие nxn-матрицы слева, а элементарные преобразования над столбцами - умножению на подходящие sxs-матрицы справа.
Докажите, что каждая обратимая матрица равна некоторому произведению матриц элементарных преобразований.
Доказать, что для системы линейных уравнений следующие условия эквивалентны:
- система имеет единственное решение;
- ранг основной матрицы равен числу неизвестных;
- ранг расширенной матрицы равен числу неизвестных.
(Принцип наложения решений) Доказать, что если вектор y - решение системы линейных уравнений Ax=b, а вектор z - решение системы линейных уравнений Ax=c, то вектор y+z будет решением системы линейных уравнений Ax=b+c.

Линейные операторы, жорданова теория одного линейного оператора

Докажите, что для операций сложения и умножения линейных операторов выполняются законы дистрибутивности: А(В+С)=АВ+АС, (А+В)С=АС+ВС.
Какова размерность пространства всех линейных операторов из данного n-мерного пространства в данное k-мерное пространство?
(Неравенство Сильвестра) Пусть А - линейный оператор, принимающий значения в некотором n-мерном пространстве L, а В - линейный оператор, определенный на L. Доказать, что ранг оператора АВ не меньше r(A)+r(B)-n. (Указание: примените теорему о сумме ранга и дефекта к ограничению оператора В на пространство Im(A).)
Докажите, что если матрица линейного оператора на пространстве L не зависит от выбора базиса в L, то действие оператора состоит в умножении каждого вектора пространства а фиксированный скаляр (в геометрии такой оператор называют гомотетией).
Что представляет собой линейный оператор, для которого каждый ненулевой вектор пространства является собственным?
Доказать, что если у линейного оператора на n-мерном пространстве есть n различных собственных значений, то все его корневые пространства одномерны.
На пространстве всех nxn-матриц рассмотрим оператор транспонирования. Найти собственные значения этого оператора и охарактеризовать отвечающие им собственные вектора.
Два оператора А и В называются перестановочными, если АВ=ВА. Докажите, что у перестановочных операторов, действующих на n-мерном комплексном пространстве, есть общий собственный вектор.
Известно, что некоторая степень линейного оператора, действующего на n-мерном комплексном пространстве, равна единичному оператору. Докажите, что этот оператор диагонализируем. Верно ли аналогичное утверждение для операторов, действующих на n-мерном действительном пространстве?
Известно, что некоторая степень ненулевого линейного оператора равна нулевому оператору. Докажите, что этот оператор недиагонализируем.
Линейный оператор умножили на 2. Как изменятся коэффициенты характеристического многочлена?
(Тождества Холла) Докажите, что для любых 2х2-матриц А,В,С верно равенство (АВ-ВА)(АВ-ВА)С=С(АВ-ВА)(АВ-ВА). (Указание: воспользуйтесь теоремой Гамильтона-Кэли.)
Доказать, что каждая комплексная nxn-матрица подобна своей транспонированной матрице. (Указание: сначала докажите утверждение для случая, когда матрица находится в нормальной жордановой форме.)
Доказать, что все нильпотентные nxn-матрицы ранга 1 подобны между собой.
Укажите жорданов базис для оператора двухкратного дифференцирования на пространстве всех действительных многочленов степени не выше n.
Докажите, что у жордановой клетки минимальный многочлен совпадает с характеристическим. Что можно сказать о нормальной жордановой форме линейного оператора, у которого минимальный многочлен совпадает с характеристическим?
У жордановой клетки все единички над главной диагональю заменили двойками. Докажите, что получившаяся матрица подобна исходной жордановой клетке.
Матрицу умножили на 2. Как изменится ее жорданова форма?

Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах

Докажите неравенство треугольника в произвольном евклидовом или унитарном пространстве.
Докажите теорему Пифагора в произвольном евклидовом или унитарном пространстве. Верно ли утверждение, обратное к теореме Пифагора, в произвольном евклидовом или унитарном пространстве?
Пусть для оператора А имеется сопряженный оператор А*, т.е. оператор, удовлетворяющий условию (xA,y)=(x,yA*) для любых векторов x и y. Докажите, что оператор А необходимо должен быть линейным.
Докажите, что если все собственные значения нормального оператора А по модулю равны единице, то А - унитарный оператор. Верно ли это утверждение для произвольного оператора?
Докажите, что если все собственные значения нормального оператора А - действительные числа, то А - самосопряженный оператор. Верно ли это утверждение для произвольного оператора?
Пусть А - самосопряженный оператор. Докажите, что существует единственный самосопряженный кубический корень из А, т.е. самосопряженный оператор В такой, что B^3=A.
Оператор А в евклидовом или унитарном пространстве называется кососимметрическим, если А*=-А. Докажите, что все собственные значения кососимметрического оператора - чисто мнимые числа.
Докажите, что кососимметрический оператор нормален. К какому простейшему виду можно привести матрицу кососимметрического оператора в унитарном пространстве? В евклидовом пространстве?
Докажите, что любой оператор в евклидовом или унитарном пространстве можно представить в виде суммы самосопряженного оператора и кососимметрического оператора.
Докажите, что произведение двух самосопряженных операторов будет самосопряженным тогда и только тогда, когда эти операторы перестановочны. Что можно сказать о произведении двух перестановочных кососимметрических операторов?
Докажите, что произведение двух унитарных операторов снова будет унитарным оператором.
Докажите, что если в полярном разложении оператора самосопряженный и унитарный множители перестановочны, то оператор нормален.

Смотрите также:

Волков Михаил Владимирович