Алгебра и геометрия

Последнее изменение: 08/02/2025 14:59:55

Основной курс для 1-го потока ФИИТ первого курса (группы ФИИТ 101/102). В весеннем семестре 2024/25 учебного года читается по понедельникам с 12:50 в ауд. 532 и по четвергам четных недель с 14:30 в ауд. 621.

Учебники

  • А. И. Мальцев. Основы линейной алгебры
  • Д. К. Фаддеев. Лекции по алгебре
  • А. И. Кострикин. Введение в алгебру

Литература для дополнительного чтения

Краткое содержание курса

  • Многочлены
    • Основные понятия теории делимости. Отношение ассоциированности. Деление многочленов с остатком
    • Теорема о наибольшем общем делителе. Алгоритм Евклида
    • Существование и однозначность разложения на неприводимые многочлены в кольце многочленов над полем
    • Поле частных области. Рациональные дроби.
    • Кольцо многочленов над областью с однозначным разложением. Лемма Гаусса и ее следствия
    • Однозначность разложения на неприводимые многочлены в кольце многочленов над областью с однозначным разложением
    • Теорема Безу. Корни многочлена.
    • Классификация неприводимых многочленов над полями комплексных и действительных чисел
    • Неприводимые многочлены с целыми коэффициентами. Критерий Эйзенштейна. Алгоритм Кронекера
    • Отделение кратных множителей
    • Кратные корни. Число корней многочлена n-й степени
    • Поле разложения многочлена.
    • Симметрические многочлены. Формулы Виета. Основная теорема о симметрических многочленах
    • Лемма о модуле старшего члена. Основная теорема алгебры комплексных чисел.
  • Определители
    • Существование и единственность
    • Основные теоремы об определителях
    • Приложения определителей: формула для обратной матрицы, ранг по минорам, правило Крамера
  • Линейные операторы
    • Изменение матрицы при замене базиса
    • Собственные числа и собственные значения линейного оператора. Линейные операторы простой структуры
    • Сопряженный оператор. Линейность сопряженного оператора. Свойства операции сопряжения. Матрица сопряженного оператора
    • Теорема Фредгольма. Альтернатива Фредгольма.
    • Нормальный оператор. Теорема о строении нормального оператора.
    • Унитарные и ортогональные операторы.
    • Самосопряженные операторы.
    • Неотрицательные самосопряженные операторы. Квадратные корни из неотрицательных самосопряженных операторов.
    • Полярное разложение оператора на унитарном (евклидовом) пространстве
    • Сингулярные числа и их применения. Теорема Эккарта-Янга
    • Псевдообратный оператор. Нормальное псевдорешение несовместной системы линейных уравнений.
  • Жорданова теория
    • Разложение Фиттинга. Корневое разложение. Теорема о корневом разложении.
    • Теорема о минимальном многочлене. Теорема Гамильтона-Кэли
    • Жорданов базис нильпотентного оператора
    • Теорема Жордана
  • Квадратичные формы
    • Метод Лагранжа
    • Закон инерции действительных квадратичных форм
    • Критерий Сильвестра
  • Квадрики на плоскости и в пространстве
    • Эллипс, гипербола, парабола
    • Упрощение уравнения 2-го порядка от двух переменных. Классификация плоских квадрик
    • Эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды, конусы, цилиндры
    • Упрощение уравнения 2-го порядка от трех переменных. Классификация пространственных квадрик

Слайды лекций и дополнительный материал

  • Лекция 1 (планируется 10.02): Деление многочленов с остатком. Алгоритм Евклида. Однозначность разложения многочлена над полем на неприводимые множители Слайды

Смотрите также: