Алгебра и геометрия

Последнее изменение: 23/06/2022 07:27:31

Основной курс для 2-го потока ФИИТ первого курса (группы ФИИТ 103/104). В осеннем семестре 2021/22 учебного года читался по субботам нечетных недель с 10:40 и по понедельникам с 10:40 в MS Teams (команда "Алгебра и геометрия (2021/22) ФИИТ 103/104").

Расписание консультаций и экзаменов
Группа	Консультация	Экзамен
ФТ-103	17.01.22 с 11:00 (MS Teams)	18.01.22 с 9:00 (ауд. 622а)
ФТ-104	17.01.22 с 11:00 (MS Teams)	19.01.22 с 9:00 (ауд. 622а)

Результаты экзаменов
Группа	Отлично	Хорошо	Удовлетв.	Неудовл.	Не аттест.	Всего
ФТ-103	3	14	4	4	1	26
ФТ-104	1	6	13	6	3	29
Поток	4	20	17	10	4	55

Учебники

А. И. Мальцев. Основы линейной алгебры.
Д. К. Фаддеев. Лекции по алгебре.

Темы, выносимые на экзамен

Линейные операции с векторами трехмерного пространства. Свойства линейных операций.
Базис трехмерного пространства. Разложение вектора по базису. Координаты вектора.
Формула деления отрезка в данном отношении.
Скалярное произведение в трехмерном пространстве. Свойства скалярного произведения. Скалярное произведение в координатах.
Векторное и смешанное произведения в трехмерном пространстве. Теорема о смешанном произведении.
Свойства векторного произведения. Векторное и смешанное произведения в координатах.
Основная теорема об уравнении прямой на плоскости.
Взаимное расположение двух прямых. Расположение точек относительно прямой.
Основная теорема об уравнении плоскости.
Взаимное расположение двух плоскостей. Расположение точек относительно плоскости.
Прямая в пространстве. Общее и каноническое уравнения прямой.
Взаимное расположение прямой и плоскости.
Основные метрические задачи на прямую и плоскость. Расстояние от точки до прямой (на плоскости и в пространстве). Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между скрещивающимися прямыми. Угол между прямыми. Угол между плоскостями. Угол между прямой и плоскостью.
Формула Кардано.
Конструкция поля комплексных чисел.
Сопряженные комплексные числа. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме.
Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа.
Корни из единицы и их свойства.
Аксиомы линейного пространства. Линейная зависимость. Лемма о правом крайнем.
Системы образующих и базисы. Теорема о существовании базиса.
Теорема о равномощности базисов. Размерность пространства. Теорема о продолжении.
Подпространства. Действия с подпространствами. Размерность суммы двух подпространств. Прямые суммы.
Линейные отображения. Операции над линейными отображениями. Матрица линейного отображения. Связь между действиями над отображениями и действиями над матрицами.
Ядро и образ линейного отображения. Теорема о сумме ранга и дефекта. Алгоритм одновременного вычисления ядра и образа.
Обратное отображение. Линейность отображения, обратного к линейному. Алгоритм вычисления обратной матрицы.
Ранг матрицы. Теорема о ранге.
Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений. Теорема о размерности пространства решений однородной системы.
Аксиомы евклидовых и унитарных пространства. Длина вектора. Неравенство Коши–Буняковского.
Ортогональные системы. Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Ортонормированный базис.
Ортогональное дополнение подпространства. Ортогональные разложения.
Псевдорешения несовместных систем линейных уравнений. Метод наименьших квадратов.

Краткое содержание курса

Линейная геометрия трехмерного пространства
- Векторная алгебра трехмерного пространства
- Уравнения прямой и плоскости в трехмерном пространстве
- Основные метрические задачи на прямую и плоскость
Комплексные числа
- Формула Кардано
- Понятие поля; построение поля комплексных чисел
- Действия с комплексными числами. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексного числа
- Корни из комплексных чисел. Корни из единицы
Линейная алгебра и геометрия
- Линейные пространства. Базис, размерность
- Линейные отображения и их матрицы
- Ядро и образ линейного отображения
- Ранг матрицы
- Общая теория систем линейных уравнений
- Пространства со скалярным произведением
- Метод наименьших квадратов
Определители
- Существование и единственности.
- Основные теоремы об определителях
- Приложения определителей: формала для обратной матрицы, ранг по минорам, правило Крамера

Слайды и дополнительный материал

Вопросы для самоконтроля по прочитанным лекциям

Векторная алгебра трехмерного пространства

Доказать формулу «бац минус цаб»: a x (b x c) = b(ac) - c(ab).
Доказать тождество Якоби (a x b) x c + (b x c) x a + (c x a) x b = 0.
Пусть е,f,g - базис. Доказать, что вектора e x f, g x e, f x g также образуют базис. (Указание - эту задачу можно решать разными способами, но довольно поучительно перейти к координатам.)
Матрица Грама базиса е_1,е_2,е_3 - это 3х3-матрица, у которой на месте (i,j) стоит скалярное произведение e_ie_j. Доказать, что определитель матрицы Грама отличен от 0. (Указание - с теми средствами, которыми вы располагаете сейчас, решить эту задачу непросто. Но попробуйте! Когда вы узнаете больше про матрицы и определители, эта задача станет совсем простой.)
Алиса и Боб по очереди заполняют числами матрицу 2х2. Алиса (которая ходит первой) хочет добиться, чтобы определитель получившейся матрицы был отличен от 0, а Боб хочет добиться, чтобы этот определитель был равен 0. У кого из игроков есть выигрышная стратегия? А если Алиса хочет, чтобы получился нулевой определитель, а Боб - чтобы получился определитель, отличный от 0? Те же вопросы для матрицы 3х3. (Предостережение: для 3х3-матриц задача уже нетривиальна.)

Уравнения прямой и плоскости в трехмерном пространстве

Исследовать взаимное расположение трех прямых на плоскости. (Здесь и далее под словом "исследовать" понимается следующее: указать условия на коэффициенты уравнений, отвечающие различным с геометрической точки зрения вариантам взаимного расположения задаваемых этими уравнениями объектов).
На плоскости даны три параллельные прямые с уравнениями Ax+By+C=0, Ax+By+D=0, Ax+By+E=0. Указать необходимое и достаточное условие, при котором вторая прямая проходит между первой и третьей.
На плоскости даны две параллельные прямые с уравнениями Ax+By+C=0, Ax+By+D=0. Придумать формулу, выражающее расстояние между этими прямыми через коэффициенты A,B,C,D. (Система координат - прямоугольная декартова.)
На плоскости даны две пересекающиеся и неперпендикулярные прямые с уравнениями A_1x+B_1y+C_1=0, A_2x+B_2y+C_2=0. Написать уравнение биссектрисы острого угла между этими прямыми. (Система координат - прямоугольная декартова.)
Исследовать взаимное расположение трех плоскостей в пространстве.
В пространстве даны три параллельные плоскости с уравнениями Ax+By+Cz+D=0, Ax+By+Cz+E=0, Ax+By+Cz+F=0. Указать необходимое и достаточное условие, при котором вторая плоскость проходит между первой и третьей.
В пространстве даны две параллельные плоскости с уравнениями Ax+By+Cz+D=0, Ax+By+Cz+E=0 и прямая с уравнением x=x_0+mt, y=y_0+nt, z=z_0+pt. Указать необходимое и достаточное условие, при котором прямая расположена между плоскостями.

Комплексные числа

Найти сумму k-х степеней всей корней n-й степени из 1.
Найти произведение корней n-й степени из 1.
Доказать, что модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению их модулей.
Некоторые натуральные числа (например, 1, 2, 4 или 5) можно представить в виде суммы квадратов двух целых чисел, а некоторые (например, 3, 6 или 7) нельзя. Доказать, что если натуральные числа m и n представимы в виде суммы квадратов двух целых чисел, то и их произведение mn представимо в виде такой суммы.
Можно ли ввести на множестве комплексных чисел линейный порядок, продолжающий обычный порядок на множестве действительных чисел и согласованный с операцией сложения? (Согласованность означает, что для любых x,y,z, если x < y, то x+z < y+z.) А линейный порядок, согласованный с операцией умножения? (Здесь согласованность означает, что для любых x,y,z, если x < y и z > 0, то xz < yz.)

Абстрактные векторные пространства

Доказать, что аксиому 1а=а нельзя вывести из остальных аксиом линейного пространства.
Доказать, что коммутативность сложения можно вывести из остальных аксиом линейного пространства. (Предостережение: задача нетривиальна.)
Доказать, что в обычном трехмерном пространстве любые четыре вектора линейно зависимы.
Доказать, что объединение двух подпространств будет подпространством тогда и только тогда, когда одно из этих подпространств содержится в другом.
Может ли объединение трех попарно несравнимых подпространств быть подпространством? (Указание: рассмотрите двумерное пространство над двухэлементным полем.)
Доказать, что для операций пересечения и суммы подпространств, вообще говоря, не выполняется дистрибутивный закон.
Доказать, что для операций пересечения и суммы подпространств выполняется так называемый модулярный закон: если подпространство А содержит подпространство В, то для любого подпространства С пересечение А с суммой В+С равно сумме В и пересечения А с С.
Формула для размерности суммы двух подпространств аналогична формуле включений и исключений для двух множеств. Верна ли формула для размерности суммы трех подпространств, построенная по аналогии с формулой включений и исключений для трех множеств? (Указание: рассмотрите три прямые в обычной двумерной плоскости.)
Докажите, что линейные многообразия x+M и y+N равны тогда и только тогда, когда M = N и x-y лежит в М.

Ранг матрицы. Теория систем линейных уравнений

Доказать, что произвольная матрица ранга r представима в виде суммы r матриц ранга 1.
Доказать, что для любых двух матриц одинаковых размеров ранг их суммы не провосходит суммы их рангов.
Доказать, что для любой nxs-матрицы A, любой обратимой nxn-матрицы В и любой обратимой sxs-матрицы ранги матриц А и ВАС равны.
Доказать, что для системы линейных уравнений следующие условия эквивалентны:
- система имеет единственное решение;
- ранг основной матрицы равен числу неизвестных;
- ранг расширенной матрицы равен числу неизвестных.
(Неравенство Сильвестра) Пусть А - линейный оператор, принимающий значения в некотором n-мерном пространстве L, а В - линейный оператор, определенный на L. Доказать, что ранг оператора АВ не меньше r(A)+r(B)-n. (Указание: примените теорему о сумме ранга и дефекта к ограничению оператора В на пространство Im(A).)
(Принцип наложения решений) Доказать, что если вектор y - решение системы линейных уравнений Ax=b, а вектор z - решение системы линейных уравнений Ax=c, то вектор y+z будет решением системы линейных уравнений Ax=b+c.
Пусть квадратная матрица А такова, что система линейных уравнений Ax=b имеет решение при любой правой части b. Доказать, что тогда эта система имеет единственное решение при каждой правой части. (Указание: воспользуйтесь теоремой о сумме ранга и дефекта.)

Евклидовы и унитарные пространства. Решение несовместных систем линейных уравнений

Верно ли утверждение, обратное к теореме Пифагора, в произвольном евклидовом или унитарном пространстве?
Что произойдет, если применить процесс Грама-Шмидта к линейно зависимой системе векторов?
Точка Лемуана треугольника - это точка, сумма квадратов расстояний которой до сторон треугольника минимальна. Найдите точку Лемуана треугольника, стороны которого лежат на прямых с уравнениями A_1x+B_1y+C_1=0, A_2x+B_2y+С_2=0, A_3x+B_3y+С_3=0. (Указание: примените метод наименьших квадратов.)
Две прямые в пространстве заданы уравнениями x=x_0+mt, y=y_0+nt, z=z_0+pt и x=x_1+qt, y=y_1+rt, z=z_1+st. Объединим эти 6 уравнений в одну систему. Какие точки будут псевдорешениями этой системы?

Определители

Пусть определитель nxn-матрицы A равен d. Чему равен определитель матрицы kА?
Пусть определитель nxn-матрицы А равен d. Чему равен определитель матрицы, присоединенной к А?
Пусть ранг nxn-матрицы А равен r. Чему равен ранг матрицы, присоединенной к А?
Доказать, что при перестановке двух строк матрицы в присоединенной матрице происходит такая же перестановка столбцов и все элементы присоединенной матрицы меняют знак.
Доказать, что матрица, обратная к верхнетреугольной матрице, сама является верхнетреугольной.
(Теорема Гамильтона-Кэли) Пусть А - 2х2-матрица, s - ее след (сумма диагональных элементов), а d - ее определитель. Проверить, что А^2-sA+dE=0.
Через tr(A) обозначается след матрицы А. Доказать, что удвоенный определитель 2х2-матрицы А равен tr(A)^2-tr(A^2).
Привести пример 4х4-матрицы, определитель которой не равен ad-bc, где a - определитель верхнего левого 2х2-блока, b - определитель верхнего правого 2х2-блока, c - определитель нижнего левого 2х2-блока, d - определитель нижнего правого 2х2-блока.
Матрица А называется кососимметрической, если ее транспонированнаяматрица равна -А. Доказать, что определитель действительной кососимметрической матрицы нечетного порядка равен 0.
Пусть в nxn-матрице А есть такие s строк и t столбцов, что все элементы, стоящие на их пересечении, равны 0 и s+t>n. Доказать, что определитель матрицы А равен 0.

Кафедра алгебры и фундаментальной информатики