• Общая информация
• Новости
• Преподаватели
• Мероприятия
• Контакты
• Полезные ссылки

Алгебра и геометрия

Основной курс для потока ФИ/ПИ первого курса. В весеннем семестре 2014/15 учебного года читается по понедельникам с 12:50 в ауд. 513, а по четным неделям - еще и по четвергам с 12:50.

Учебники

• А. И. Кострикин. Введение в алгебру.
• А. И. Мальцев. Основы линейной алгебры.
• Д. К. Фаддеев. Лекции по алгебре.

Литература для дополнительного чтения

• Carl D. Meyer. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra
• В. В. Прасолов. Задачи и теоремы линейной алгебры

Краткое содержание курса

• Многочлены
  • Понятие кольца и области
  • Основные понятия теории делимости. Отношение ассоциированности.
  • Евклидовы кольца. Евклидовость кольца целых гауссовых чисел
  • Теорема о наибольшем общем делителе в евклидовых кольцах. Алгоритм Евклида
  • Существование и однозначность разложения на неразложимые множители в евклидовых кольцах
  • Поле частных области
  • Кольцо многочленов над областью с однозначным разложением. Лемма Гаусса и ее следствия
  • Однозначность разложения на неприводимые многочлены в кольце многочленов над областью с однозначным разложением
  • Неприводимые многочлены с целыми коэффициентами. Критерий Эйзенштейна
  • Многочлены как функции. Определяемость многочлена n-й степени значениями в n+1 точке. Интерполяционный многочлен Лагранжа
  • Теорема Безу. Корни многочлена. Кратные корни. Число корней многочлена n-й степени
  • Поле разложения многочлена
  • Симметрические многочлены. Формулы Виета. Основная теорема о симметрических многочленах
  • Лемма о модуле старшего члена. Основная теорема алгебры комплексных чисел. Классификация неприводимых многочленов над полями комплексных и действительных чисел
• Общая теория систем линейных уравнений
  • Теорема о ранге матрицы. Вычисление ранга
  • Теорема Кронекера-Капелли
  • Пространство решений однородной системы. Фундаментальная система решений
• Линейные операторы, жорданова теория одного линейного оператора
  • Ядро и образ линейного оператора, теорема о сумме ранга и дефекта, алгоритм одновременного вычисления ядра и образа
  • Матрица оператора, изменение матрицы при замене базиса
  • Собственные числа и собственные значения линейного оператора. Линейные операторы простой структуры
  • Разложение Фиттинга. Корневое разложение. Теорема о корневом разложении.
  • Теорема о минимальном многочлене. Теорема Гамильтона-Кэли
  • Жорданов базис нильпотентного оператора
  • Теорема Жордана
• Евклидовы и унитарные пространства
  • Свойства скалярного произведения, неравенство Коши-Буняковского
  • Ортогональные базисы, процесс ортогонализации Грама-Шмидта
  • Ортогональные дополнения
• Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах
  • Строение линейного функционала в унитарном (евклидовом) пространстве
  • Сопряженный оператор. Матрица сопряженного оператора
  • Нормальный оператор. Теорема о строении нормального оператора.
  • Самосопряженные операторы.
  • Унитарные и ортогональные операторы.
  • Квадратичные формы

Контрольные вопросы по прочитанным лекциям

• Многочлены

1. Докажите, что над любым полем множество неприводимых многочленов от одного неизвестного бесконечно. (Совет: для конечного поля примените аргумент Евклида из классического доказательства бесконечности множества простых чисел.)
2. Существует ли область с однозначным разложением, в которой число неразложимых элементов конечно?
3. Как узнать, приводим ли над полем действительных чисел многочлен второй степени от двух неизвестных? (Совет: приравняйте многочлен к нулю и взгляните на получившееся уравнение как на уравнение квадрики.)
4. Пусть все коэффициенты многочлена f(x) из Z[x], кроме его свободного члена, делятся на некоторое простое число p, а старший коэффициент не делится на p^2. Докажите, что f(x) неприводим.
5. Известно, что у некоторого многочлена n-й степени с действительными коэффициентами ровно n действительных корней и все корни различны. Доказать, что у его производной ровно n-1 действительных корней и все корни различны.
6. Многочлен с действительными коэффициентами принимает целые значения во всех целых точках. Следует ли отсюда, что его коэффициенты целые числа? рациональные числа?
7. Доказать, что у многочлена, неприводимого над кольцом целых чисел, не может быть кратных комплексных корней.

• Общая теория систем линейных уравнений

1. Исследовать взаимное расположение трех плоскостей в обычном трехмерном пространстве.
2. Доказать, что произвольная матрица ранга r представима в виде суммы r матриц ранга 1.
3. Доказать, что для любых двух матриц одинаковых размеров ранг их суммы не провосходит суммы их рангов.
4. Доказать, что для системы линейных уравнений следующие условия эквивалентны:
   • система имеет единственное решение;
   • ранг основной матрицы равен числу неизвестных;
   • ранг расширенной матрицы равен числу неизвестных.
5. (Принцип наложения решений) Доказать, что если вектор y - решение системы линейных уравнений Ax=b, а вектор z - решение системы линейных уравнений Ax=c, то вектор y+z будет решением системы линейных уравнений Ax=b+c.
6. Доказать, что вектор y - какое-то решение системы линейных уравнений Ax=b, то любое решение этой системы можно представить в виде y+z, где вектор z - решение однородной системы Ax=0.
7. Пусть квадратная матрица А такова, что система линейных уравнений Ax=b имеет решение при любой правой части b. Доказать, что тогда эта система имеет единственное решение при каждой правой части. (Указание: воспользуйтесь теоремой о сумме ранга и дефекта.)

• Линейные операторы

1. Докажите, что для операций сложения и умножения линейных операторов выполняются законы дистрибутивности: А(В+С)=АВ+АС, (А+В)С=АС+ВС.
2. Какова размерность пространства всех линейных операторов из данного n-мерного пространства в данное k-мерное пространство?
3. (Неравенство Сильвестера) Пусть А - линейный оператор, принимающий значения в некотором n-мерном пространстве L, а В - линейный оператор, определенный на L. Доказать, что ранг оператора АВ не меньше r(A)+r(B)-n. (Указание: примените теорему о сумме ранга и дефекта к ограничению оператора В на пространство Im(A).)
4. Докажите, что если матрица линейного оператора на пространстве L не зависит от выбора базиса в L, то действие оператора состоит в умножении каждого вектора пространства на фиксированный скаляр (в геометрии такой оператор называют гомотетией).
5. Что представляет собой линейный оператор, для которого каждый ненулевой вектор пространства является собственным?
6. Доказать, что если у линейного оператора на n-мерном пространстве есть n различных собственных значений, то все его корневые пространства одномерны.
7. На пространстве всех nxn-матриц рассмотрим оператор транспонирования. Найти собственные значения этого оператора и охарактеризовать отвечающие им собственные вектора.
8. Два оператора А и В называются перестановочными, если АВ=ВА. Докажите, что у перестановочных операторов, действующих на n-мерном комплексном пространстве, есть общий собственный вектор.
9. Известно, что некоторая степень линейного оператора, действующего на n-мерном комплексном пространстве, равна единичному оператору. Докажите, что этот оператор диагонализируем. Верно ли аналогичное утверждение для операторов, действующих на n-мерном действительном пространстве?
10. Известно, что некоторая степень ненулевого линейного оператора равна нулевому оператору. Докажите, что этот оператор недиагонализируем.
11. Линейный оператор умножили на 2. Как изменятся коэффициенты характеристического многочлена?
12. (Тождества Холла) Докажите, что для любых 2х2-матриц А,В,С верно равенство (АВ-ВА)(АВ-ВА)С=С(АВ-ВА)(АВ-ВА). (Указание: воспользуйтесь теоремой Гамильтона-Кэли.)

• Жорданова теория одного линейного оператора

1. Доказать, что каждая комплексная nxn-матрица подобна своей транспонированной матрице. (Указание: сначала докажите утверждение для случая, когда матрица находится в нормальной жордановой форме.)
2. Доказать, что все нильпотентные nxn-матрицы ранга 1 подобны между собой.
3. Укажите жорданов базис для оператора двухкратного дифференцирования на пространстве всех действительных многочленов степени не выше n.
4. Докажите, что у жордановой клетки минимальный многочлен совпадает с характеристическим. Что можно сказать о нормальной жордановой форме линейного оператора, у которого минимальный многочлен совпадает с характеристическим?
5. У жордановой клетки все единички над главной диагональю заменили двойками. Докажите, что получившаяся матрица подобна исходной жордановой клетке.
6. Матрицу умножили на 2. Как изменится ее жорданова форма?

• Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах

1. Докажите неравенство треугольника в произвольном евклидовом или унитарном пространстве.
2. Докажите теорему Пифагора в произвольном евклидовом или унитарном пространстве. Верно ли утверждение, обратное к теореме Пифагора, в произвольном евклидовом или унитарном пространстве?
3. Пусть для оператора А имеется сопряженный оператор А*, т.е. оператор, удовлетворяющий условию (xA,y)=(x,yA*) для любых векторов x и y. Докажите, что оператор А необходимо должен быть линейным.
4. Докажите, что если все собственные значения нормального оператора А по модулю равны единице, то А - унитарный оператор. Верно ли это утверждение для произвольного оператора?
5. Докажите, что если все собственные значения нормального оператора А - действительные числа, то А - самосопряженный оператор. Верно ли это утверждение для произвольного оператора?
6. Оператор А в евклидовом или унитарном пространстве называется кососимметрическим, если А*=-А. Докажите, что все собственные значения кососимметрического оператора - чисто мнимые числа.
7. Докажите, что кососимметрический оператор нормален. К какому простейшему виду можно привести матрицу кососимметрического оператора в унитарном пространстве? В евклидовом пространстве?
8. Докажите, что любой оператор в евклидовом или унитарном пространстве можно представить в виде суммы самосопряженного оператора и кососимметрического оператора.
9. Что можно сказать о произведении двух перестановочных кососимметрических операторов?
10. Докажите, что произведение двух унитарных операторов снова будет унитарным оператором.

Вопросы к экзамену

Смотрите также:

• Волков Михаил Владимирович
• Волков Михаил Владимирович: Читаемые курсы