• Общая информация
• Новости
• Преподаватели
• Мероприятия
• Контакты
• Полезные ссылки

Фундаментальная и компьютерная алгебра

Основной курс для потока КН/КБ первого курса. В осеннем семестре 2011/12 учебного года читается по средам с 9:00 в ауд. 532. Консультации по курсу проводятся по понедельникам с 19:30 до 21:00 в ауд. 609.

Вопросы к экзамену

1. Матрицы и действия над ними. Свойства действий над матрицами.
2. Аксиомы определителя и их следствия.
3. Теорема единственности определителя.
4. Теорема существования определителя.
5. Теорема симметрии.
6. Определитель полураспавшейся матрицы.
7. Определитель произведения двух матриц.
8. Определитель Вандермонда. Приложение к вычислению циркулянтов.
9. Обратная матрица и ее нахождение.
10. Приложение обратной матрицы к решению систем линейных уравнений. Формулы Крамера.
11. Выражение определителя через его элементы.
12. Формула Кардано.
13. Конструкция поля комплексных чисел.
14. Сопряженные комплексные числа. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме.
15. Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа.
16. Корни из единицы и их свойства. Приложение к вычислению циркулянтов.
17. Аксиомы линейного пространства. Линейная зависимость. Лемма о правом крайнем. Геометрический смысл линейной зависимости в трехмерном пространстве.
18. Системы образующих и базисы. Теорема о существовании базиса.
19. Теорема о равномощности базисов. Размерность пространства. Теорема о продолжении.
20. Координаты вектора. Связь координат в разных базисах. Критерий равенства определителя нулю.
21. Скалярное произведение в трехмерном пространстве. Свойства скалярного произведения. Скалярное произведение в координатах.
22. Векторное и смешанное произведения в трехмерном пространстве. Теорема о смешанном произведении.
23. Свойства векторного произведения. Векторное и смешанное произведения в координатах.
24. Основная теорема об уравнении прямой на плоскости.
25. Основная теорема об уравнении плоскости.
26. Основные метрические задачи на прямую и плоскость.

Литература для дополнительного чтения

• Carl D. Meyer. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra
• В. В. Прасолов. Задачи и теоремы линейной алгебры

Краткое содержание курса

• Матрицы и определители
  • Действия над матрицами
  • Определитель квадратной матрицы; основные теоремы об определителях
  • Обратная матрица; правило Крамера для решения систем линейных уравнений
• Комплексные числа
  • Понятие поля; построение поля комплексных чисел
  • Действия с комплексными числами
  • Корни из единицы и их приложения
• Линейная алгебра и геометрия
  • Линейные пространства. Базис, размерность.
  • Координаты вектора. Замена координат
  • Векторная алгебра трехмерного пространства
  • Уравнения прямой и плоскости в трехмерном пространстве
  • Основные метрические задачи на прямую и плоскость

Контрольные вопросы по прочитанным лекциям

• Действия над матрицами

1. Показать, что для каждой матрицы А существует такая матрица В, что А+В=0. (Такая матрица называется противоположной матрице А.)
2. Привести пример двух ненулевых матриц, произведение которых равно нулю.
3. Следом квадратной матрицы называется сумма элементов, стоящих на ее главной диагонали. Проверить, что если А и В - квадратные матрицы одинакового размера, то след АВ равен следу ВА. Верен ли аналогичный результат, если А и В - такие прямоугольные матрицы, что оба произведения АВ и ВА существуют?
4. Квадратная матрица называется симметрической, если она совпадает со своей транспонированной. Доказать, что произведение любой матрицы (не обязательно квадратной) на ее транспонированную есть симметрическая матрица.
5. Квадратная матрица называется кососимметрической, если она противоположна своей транспонированной. Доказать, что любую квадратную матрицу можно представить в виде суммы некоторой симметрической матрицы и некоторой кососимметрической матрицы, причем единственным образом.
6. Квадратные матрицы А и В одинакового размера называются перестановочными, если АВ=ВА. Доказать, что произведение двух симметрических матриц будет симметрической матрицей тогда и только тогда, когда эти матрицы перестановочны. (Этот простой факт имеет принципиальное значение для квантовой механики.)
7. Доказать, что квадратная матрица, перестановочная со всеми диагональными матрицами, сама является диагональной, а квадратная матрица, перестановочная со всеми матрицами, является скалярной, т.е. диагональной матрицей, у которой все элементы главной диагонали одинаковы.

• Определители

1. Алиса и Боб по очереди заполняют числами матрицу 2х2. Алиса (которая ходит первой) хочет добиться, чтобы определитель получившейся матрицы был отличен от 0, а Боб хочет добиться, чтобы этот определитель был равен 0. У кого из игроков есть выигрышная стратегия? А если Алиса хочет, чтобы получился нулевой определитель, а Боб - чтобы получился определитель, отличный от 0? Те же вопросы для матрицы 3х3. (Предостережение: для 3х3-матриц задача уже нетривиальна.)
2. (Теорема Гамильтона-Кэли) Пусть А - 2х2-матрица, s - ее след, а d - ее определитель. Проверить, что А^2-sA+dE=0.
3. Через tr(A) обозначается след матрицы А. Доказать, что удвоенный определитель 2х2-матрицы А равен tr(A)^2-tr(A^2).
4. Привести пример 4х4-матрицы, определитель которой не равен ad-bc, где a - определитель верхнего левого 2х2-блока, b - определитель верхнего правого 2х2-блока, c - определитель нижнего левого 2х2-блока, d - определитель нижнего правого 2х2-блока.
5. Доказать, что определитель кососимметрической матрицы нечетного порядка равен 0.
6. Пусть в nxn-матрице А есть такие s строк и t столбцов, что все элементы, стоящие на их пересечении, равны 0 и s+t>n. Доказать, что определитель матрицы А равен 0.

• Обратная матрица

1. Пусть А - обратимая матрица. Доказать, что транспонированная матрица А^T обратима и матрица, обратная к А^T, получается транспонированием из матрицы, обратной к А.
2. Пусть А и В - обратимые матрицы. Доказать, что матрица АВ обратима и матрица, обратная к АВ, равна произведению матрицы, обратной к В, на матрицу, обратную к А.
3. Доказать, что матрица, обратная к верхнетреугольной матрице, сама является верхнетреугольной.
4. Пусть определитель nxn-матрицы А равен d. Чему равен определитель матрицы, присоединенной к А?
5. Доказать, что при перестановке двух строк матрицы в присоединенной матрице происходит такая же перестановка столбцов и все элементы присоединенной матрицы меняют знак.

• Комплексные числа

1. Доказать, что модуль суммы двух комплексных чисел не превосходит суммы их модулей.
2. Квадратная матрица над полем комплексных чисел называется эрмитовой, если каждый ее элемент сопряжен с элементом, симметричным ему относительно главной диагонали. Доказать, что определитель эрмитовой матрицы - действительное число.
3. Найти сумму k-х степеней всей корней n-й степени из 1.
4. Найти произведение корней n-й степени из 1.

• Линейные пространства

1. Доказать, что коммутативность сложения можно вывести из остальных аксиом линейного пространства. (Предостережение: задача нетривиальна.)
2. Доказать, что базис пространства можно определить как максимальную линейно независимую систему или как минимальную систему образующих.
3. Вычислить размерность пространства всех симметрических nxn-матриц.
4. Пусть в пространстве имеются три базиса, Т - матрица перехода от 1-го базиса ко 2-му, а S - матрица перехода от 2-го базиса к 3-му. Найти матрицу перехода от 1-го базиса к 3-му.

Смотрите также:

• Волков Михаил Владимирович
• Волков Михаил Владимирович: Читаемые курсы