Фундаментальная и компьютерная алгебра

Последнее изменение: 29/03/2017 10:55:11

Основной курс для потока КН/КБ второго курса. В осеннем семестре 2012/13 учебного года читается по средам с 9:00 в ауд. 632.

Учебники

А. И. Мальцев. Основы линейной алгебры.
Д. К. Фаддеев. Лекции по алгебре.

Литература для дополнительного чтения

Carl D. Meyer. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra
В. В. Прасолов. Задачи и теоремы линейной алгебры

Краткое содержание курса

Общая теория систем линейных уравнений
- Подпространства. Операции над подпространствами. Прямые суммы
- Теорема о ранге матрицы. Вычисление ранга
- Теорема Кронекера-Капелли
- Пространство решений однородной системы. Фундаментальная система решений
Линейные операторы, жорданова теория одного линейного оператора
- Ядро и образ линейного оператора, теорема о сумме ранга и дефекта, алгоритм одновременного вычисления ядра и образа
- Матрица оператора, изменение матрицы при замене базиса
- Собственные числа и собственные значения линейного оператора. Линейные операторы простой структуры
- Разложение Фиттинга. Корневое разложение. Теорема о корневом разложении.
- Теорема о минимальном многочлене. Теорема Гамильтона-Кэли
- Жорданов базис нильпотентного оператора
- Теорема Жордана
Евклидовы и унитарные пространства
- Свойства скалярного произведения, неравенство Коши-Буняковского
- Ортогональные базисы, процесс ортогонализации Грама-Шмидта
- Ортогональные дополнения
Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах
- Строение линейного функционала в унитарном (евклидовом) пространстве
- Сопряженный оператор. Матрица сопряженного оператора
- Нормальный оператор. Теорема о строении нормального оператора.
- Унитарные и ортогональные операторы.
- Самосопряженные операторы.
- Неотрицательные самосопряженные операторы. Квадратные корни из неотрицательных самосопряженных операторов.
- Полярное разложение оператора на унитарном (евклидовом) пространстве

Контрольные вопросы по прочитанным лекциям

Общая теория систем линейных уравнений

Доказать, что объединение двух подпространств будет подпространством тогда и только тогда, когда одно из этих подпространств содержится в другом.
Может ли объединение трех попарно несравнимых подпространств быть подпространством? (Указание: рассмотрите двумерное пространство над двухэлементным полем.)
Доказать, что для операций пересечения и суммы подпространств, вообще говоря, не выполняется дистрибутивный закон.
Доказать, что для операций пересечения и суммы подпространств выполняется так называемый модулярный закон: если подпространство А содержит подпространство В, то для любого подпространства С пересечение А с суммой В+С равно сумме В и пересечения А с С.
Доказать, что произвольная матрица ранга r представима в виде суммы r матриц ранга 1.
Доказать, что элементарные преобразования над строками nxs-матрицы A равносильны умножению матрицы A на подходящие nxn-матрицы слева, а элементарные преобразования над столбцами - умножению на подходящие sxs-матрицы справа.
Доказать, что для системы линейных уравнений следующие условия эквивалентны:
- система имеет единственное решение;
- ранг основной матрицы равен числу неизвестных;
- ранг расширенной матрицы равен числу неизвестных.
(Принцип наложения решений) Доказать, что если вектор y - решение системы линейных уравнений Ax=b, а вектор z - решение системы линейных уравнений Ax=c, то вектор y+z будет решением системы линейных уравнений Ax=b+c.
Доказать, что вектор y - какое-то решение системы линейных уравнений Ax=b, то любое решение этой системы можно представить в виде y+z, где вектор z - решение однородной системы Ax=0.
Пусть квадратная матрица А такова, что система линейных уравнений Ax=b имеет решение при любой правой части b. Доказать, что тогда эта система имеет единственное решение при каждой правой части. (Указание: воспользуйтесь теоремой о сумме ранга и дефекта.)

Линейные операторы, жорданова теория одного линейного оператора

Докажите, что для операций сложения и умножения линейных операторов выполняются законы дистрибутивности: А(В+С)=АВ+АС, (А+В)С=АС+ВС.
Какова размерность пространства всех линейных операторов из данного n-мерного пространства в данное k-мерное пространство?
(Неравенство Сильвестера) Пусть А - линейный оператор, принимающий значения в некотором n-мерном пространстве L, а В - линейный оператор, определенный на L. Доказать, что ранг оператора АВ не меньше r(A)+r(B)-n. (Указание: примените теорему о сумме ранга и дефекта к ограничению оператора В на пространство Im(A).)
Докажите, что если матрица линейного оператора на пространстве L не зависит от выбора базиса в L, то действие оператора состоит в умножении каждого вектора пространства а фиксированный скаляр (в геометрии такой оператор называют гомотетией).
Что представляет собой линейный оператор, для которого каждый ненулевой вектор пространства является собственным?
Доказать, что если у линейного оператора на n-мерном пространстве есть n различных собственных значений, то все его корневые пространства одномерны.
Два оператора А и В называются перестановочными, если АВ=ВА. Докажите, что у перестановочных операторов, действующих на n-мерном комплексном пространстве, есть общий собственный вектор.
Известно, что некоторая степень линейного оператора, действующего на n-мерном комплексном пространстве, равна единичному оператору. Докажите, что этот оператор диагонализируем. Верно ли аналогичное утверждение для операторов, действующих на n-мерном действительном пространстве?
Доказать, что каждая комплексная nxn-матрица подобна своей транспонированной матрице. (Указание: сначала докажите утверждение для случая, когда матрица находится в нормальной жордановой форме.)
Доказать, что все нильпотентные nxn-матрицы ранга 1 подобны между собой.
Укажите жорданов базис для оператора двухкратного дифференцирования на пространстве всех действительных многочленов степени не выше n.
Докажите, что у жордановой клетки минимальный многочлен совпадает с характеристическим. Что можно сказать о нормальной жордановой форме линейного оператора, у которого минимальный многочлен совпадает с характеристическим?
У жордановой клетки все единички над главной диагональю заменили двойками. Докажите, что получившаяся матрица подобна исходной жордановой клетке.

Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах

Докажите теорему Пифагора в произвольном евклидовом или унитарном пространстве. Верно ли утверждение, обратное к теореме Пифагора, в произвольном евклидовом или унитарном пространстве?
Пусть для оператора А имеется сопряженный оператор А*, т.е. оператор, удовлетворяющий условию (xA,y)=(x,yA*) для любых векторов x и y. Докажите, что оператор А необходимо должен быть линейным.
Докажите, что если все собственные значения нормального оператора А по модулю равны единице, то А - унитарный оператор. Верно ли это утверждение для произвольного оператора?
Докажите, что если все собственные значения нормального оператора А - действительные числа, то А - самосопряженный оператор. Верно ли это утверждение для произвольного оператора?
Оператор А в евклидовом или унитарном пространстве называется кососимметрическим, если А*=-А. Докажите, что все собственные значения кососимметрического оператора - чисто мнимые числа.
Докажите, что кососимметрический оператор нормален. К какому простейшему виду можно привести матрицу кососимметрического оператора в унитарном пространстве? В евклидовом пространстве?
Докажите, что любой оператор в евклидовом или унитарном пространстве можно представить в виде суммы самосопряженного оператора и кососимметрического оператора.
Докажите, что произведение двух самосопряженных операторов будет самосопряженным тогда и только тогда, когда эти операторы перестановочны. Что можно сказать о произведении двух перестановочных кососимметрических операторов?
Докажите, что произведение двух унитарных операторов снова будет унитарным оператором.
Докажите, что если в полярном разложении оператора самосопряженный и унитарный множители перестановочны, то оператор нормален.

Вопросы к экзамену

Результаты экзаменов
Группа	Отлично	Хорошо	Удовлетв.	Неудовл.	Не аттест.	Всего
КБ-101	2	4	6	2	1	15
КН-101		3	7	2	5	17
КН-102	2	4	2	5	3	16
Поток	4	11	15	9	9	48

Пересдача состоится 1 февраля с 9:00 на кафедре алгебры (ауд. 607)

Смотрите также:

Волков Михаил Владимирович